ИИ решил старую проблему математики, которая висела в воздухе 80 лет: гипотезу Эрдёша о единичных расстояниях на плоскости.
Одним майским днем, когда это известие впервые дошло до Тимоти Гауэрса, он подумал, что ИИ предоставил доказательство.
Если бы это было правдой, «математикам, возможно, скоро придет конец».
Он потратил целый вечер, перестраивая свое мировоззрение.
На следующее утро пришло письмо с уточнением: ИИ не доказал эту гипотезу, а опроверг ее.
Гауэрс, наоборот, «вздохнул с облегчением».
Почему тот факт, что ИИ нашел контрпример, успокоил Гауэрса больше, чем если бы он доказал теорему?
12 августа в своем блоге он дал ответ.
Все началось 1 августа.
В тот день OpenAI разом выложила десять результатов в области математики и теоретической информатики.
По словам компании: каждый из них решил давно стоящую проблему или добился существенного прогресса в смежной области.
Эти результаты получены от еще не выпущенной внутренней версии модели Astra от OpenAI.
В те дни в социальных сетях была только одна реакция: на этот раз все по-настоящему иначе.
Как сказал Саймон Уиллисон, математики в сети коллективно переживают свой «момент Deep Blue».
Еще несколькими днями ранее математик Керуин Хэмпшир уже написал статью «Темная ночь математики». Тогда его спровоцировали более ранние, менее значительные результаты, и он описал себя погруженным в глубокий духовный кризис.
Гауэрс сначала признал, что эти десять результатов чрезвычайно впечатляющи, а затем задал вопрос:
Если большие языковые модели уже превзошли всех людей во всех аспектах математики, то благодаря своему скоростному преимуществу результаты должны были бы хлынуть потоком.
Почему этого потока нет?
Два математика написали две статьи на основе этих результатов
В течение следующих 11 дней после публикации десяти результатов OpenAI на arXiv появились две статьи.
3 августа Франческо Фурнье-Фасио, специалист по теории групп из Кембриджа, первым опубликовал статью.
Он взял ключевой критерий из доказательства OpenAI, обошел использованную там алгебру Ливитта и с нуля создал версию, которую исходный метод построить не мог: неторсионную несофическую группу.
11 августа Рафаэль Штайнер модифицировал рекурсивную конструкцию OpenAI для многоцветных чисел Рамсея, обобщив ее на все фиксированные нечетные циклы.
Тот факт, что кто-то смог написать статью, развивая результаты исследований Astra, показывает, что она предоставила метод, способный порождать новые идеи.
Фурнье-Фасио также сказал, что существует бесчисленное множество направлений, в которых можно продвигать результат Куна–Тома, большинство из которых неверны, а многие, даже если верны, бесполезны.
Тот конкретный путь, который выбрала OpenAI, скорее всего, смог бы доказать эксперт, знакомый с этой областью. Сложность в том, чтобы из бесчисленного множества путей догадаться попробовать именно его.
В своей статье Фурнье-Фасио делает вывод, что новизна OpenAI заключается в формулировке этого утверждения, а не в технике доказательства.
Он приводит наглядную метафору:
ИИ не ограничен временем и ресурсами, поэтому он может бесконечно швырять что-то в стену, чтобы посмотреть, что прилипнет.
Контрпример и теорема — это вовсе не два разных умения
В интуиции математика поиск контрпримера — это дело удачи.
Достаточно подобрать один частный случай, пробивающий дыру в гипотезе, и утверждение рушится. Доказательство теоремы — это тяжелая работа, требующая гарантии отсутствия исключений и глубоких озарений, которые приходят после долгих размышлений.
Поэтому можно принять, что ИИ хорош в поиске контрпримеров. Но если ИИ начнет хорошо доказывать теоремы, это будет означать настоящую смену эпох.
Однако Гауэрс утверждает, что эта граница несостоятельна. Поиск контрпримера и доказательство теоремы — это вовсе не два разных умения.
Сначала он признает, что наиболее весомые результаты ИИ действительно сосредоточены на контрпримерах.
Гипотеза о единичных расстояниях, гипотеза Якобиана, несофическая группа, многоцветные числа Рамсея — на первый взгляд, все они таковы.
Но большие модели также способны доказывать сложные общие утверждения, просто эти теоремы еще не достигли веса этих контрпримеров.
Затем он приводит два результата.
Виноградов в 1937 году доказал: любое достаточно большое целое число можно представить в виде суммы трех простых чисел.
Глускин в 1981 году доказал: в любом измерении существуют два пространства, «формы» которых чрезвычайно отличаются друг от друга.
Если перевести эти утверждения в формат, в котором математики пишут статьи, их структура будет почти идентичной, но никто не скажет, что Виноградов нашел контрпример, и никто не скажет, что Глускин доказал теорему.
Разница в том, где лежит сложный шаг.
Весь труд Виноградова заключался в том, чтобы подобрать три простых числа, в сумме дающих именно заданное число. У Глускина же построить два пространства заданной размерности вовсе не сложно, сложно заставить их быть достаточно далекими друг от друга.
Одинаковая структура, разные точки приложения сложности: одно становится теоремой, другое — примером.
Есть и более тонкий аспект. В слове «контрпример» есть психологический компонент. Только опровержение утверждения, в которое были основания верить, заслуживает названия контрпримера.
Несофическая группа таковой не является. По словам Гауэрса и Фурнье-Фасио, в литературе уже давно были намечены несколько путей ее построения, и не так уж много экспертов действительно верило, что все группы являются софическими. Поэтому точнее будет сказать, что OpenAI предоставила первый пример несофической группы.
Результат с многоцветными числами Рамсея Гауэрс знает лучше. В молодости он изучал его эквивалентную форму, и направление, в котором он тогда работал, оказалось верным и позже было доказано. Для него самого это был ожидаемый пример, а не контрпример.
Один и тот же результат для тех, кто верил в гипотезу, является контрпримером, а для него — всего лишь примером.
Это показывает, что граница проходит по людям, а не по математике.
Поскольку контрпример и теорема неразделимы, сильные и слабые стороны ИИ в математике нельзя определять по типу утверждения.
Тогда как же их определять?
Восемь способов поиска примеров: ИИ силен только в четырех
Разделение проходит не по типам утверждений, а по способу поиска.
Гауэрс перечисляет восемь стандартных приемов, которые математики используют для поиска примеров:
Перебирать стандартные примеры, которые есть под рукой.
Собирать из базовых примеров.
Оставлять пропуски и потом заполнять условия.
Доказывать от противного, что его не может существовать.
Многократно корректировать предыдущую догадку.
Построить по условиям шаг за шагом.
Выбрать случайный.
Взять достаточно общий пример.
Он считает, что большие модели будут очень сильны в четырех из них: перебор готовых примеров, пошаговое построение, случайный выбор и взятие общего примера.
Общее у этих четырех методов — устоявшаяся схема, обилие примеров в обучающих данных и низкая цена неудачи. Модель может просто пробовать один за другим, пока не наткнется на нужный.
Три других метода — другие. Оставление пропусков с последующим заполнением, доказательство от противного и многократная корректировка предыдущей догадки — все они требуют на полпути неоднократно оценивать одно и то же: стоит ли продолжать идти по этому пути.
Объяснение Гауэрса понятно.
У больших моделей есть два несомненных преимущества: во-первых, широта знаний, покрывающая почти все стандартные рассуждения; во-вторых, скорость — они могут потерпеть неудачу бесчисленное количество раз, прежде чем найти решение.
Вместе это формирует стиль, совершенно отличный от человеческого: чем больше в проблеме элемента удачи, тем больше у ИИ преимущества.
Территория, которую человек еще удерживает, — это проблемы с особенно большим количеством и глубиной развилок.
Математики называют это деревом поиска.
С каждым шагом вниз под ногами расходится еще десяток путей, и чем дальше, тем шире. Невозможно пройти по всем, нужно на полпути решить, какие ветви можно отсечь, не исследуя.
Это действие называется отсечением ветвей. Без него, даже с вычислительной мощностью, к утру не добраться до конца.
Подтверждение этому — коллективная реакция экспертов.
Гауэрс отмечает, что мнения очень схожи: сначала шок от того, что проблема решена, а при детальном рассмотрении оказывается, что метод не такой уж новый, и подходящий эксперт с небольшой подсказкой тоже смог бы его найти.
Это не принижение открытия ИИ, а более точный его портрет:
Его преимущество не в том, что он умнее человека, а в том, что он «умеет проигрывать».
Одну и ту же задачу человек может проверить лишь несколькими путями, а ИИ может перепробовать сотни.
Почему у больших моделей не развивается это чутье?
Первая причина: в обучающих данных этому просто не учат.
Опубликованные доказательства — это «чистый конечный продукт»: какие направления пробовал первооткрыватель, на каком шаге он счел их неправильными, почему свернул — все это стерто.
Модель видит заключение, но не видит процесса.
На самом деле, и людей этому специально не учат. Разница в том, что математик оттачивает этот навык в процессе собственных тупиков, ошибок и разворотов, а модель может учиться только на готовых продуктах, обработанных другими.
Вторая причина более контринтуитивна: скорость сама по себе является препятствием.
Человек вынужден жестко отсекать ветви, потому что за жизнь успеет пройти лишь несколько путей.
У больших моделей есть скорость и широта знаний, они выдерживают крайне неэффективный поиск, который человеку не под силу. Раз нет недостатка, нет и давления, заставляющего обязательно отсекать.
Гауэрс прямо заявляет: возможно, сегодняшний успех больших моделей достигается методами, которые человек сочтет крайне неэффективными, просто развилок еще не так много, чтобы их задавить.
В-третьих, это трудно проверить экспериментально. Идея, которая кажется плодом глубоких размышлений, может быть просто извлечением из литературы размышлений какого-то человеческого математика.
Собственный опыт использования Гауэрс также описал в длинной статье.
При обсуждении открытых проблем с версией 5.6 Pro часто получаешь предложения, которые звучат многообещающе, но при детальном рассмотрении оказываются нерабочими. И часто встречается такая концовка: я не смог ответить на ваш вопрос, но свел его к более узкой и точной проблеме.
После пяти таких ответов подряд никакого прогресса не видно.
Интересно, что другой лауреат премии Филдса говорит о том же.
24 июля Теренс Тао выступил с публичной лекцией на Международном конгрессе математиков на тему «Математика в эпоху ИИ».
Он пожаловался, что математика, сгенерированная ИИ, читается мучительно: расстановка акцентов полностью ошибочна, он может потратить три страницы на доказательство очевидной леммы, а затем в трех строках пробежаться по действительно интересному шагу.
Человек так доказательства не пишет. Простые места опускаются, сложные — останавливаются, тщательно структурируются, стараясь избежать лишней работы. Читатель по этому ритму может понять, где сложность.
Тао дал этому название — естественное трение.
Скриншот выступления Теренса Тао на ICM 2026: в доказательствах, написанных человеком, на сложных местах остается «естественное трение», заставляющее читателя замедлиться; чрезмерно отполированные ИИ доказательства стирают и его.
ИИ на всех участках, и сложных, и простых, проносится с высокой скоростью, и все выглядит одинаково.
Он рассказал свой пример.
В аспирантуре, разбирая статью Бургана 1991 года, он оставил на полях пометку: я ненавижу Жана Бургана.
Продравшись сквозь нее, он в итоге понял ход мыслей автора и впоследствии предпочитал читать его статьи.
Он говорит, что если бы то доказательство прошло через многоуровневую полировку ИИ, он, возможно, не получил бы той тренировки.
Информация о том, «какой шаг сложный», никогда должным образом не фиксировалась в традиции математического письма, поэтому модели не могут этому научиться.
А текст, написанный ИИ, стирает и эти последние следы.
Так возникает порочный круг: модель не учится способности к оценке, а то, что она генерирует, мешает учиться следующему поколению моделей.
Рецепт Гауэрса касается функции вознаграждения модели.
При обучении нельзя давать вознаграждение только за получение решения, нужно также наказывать за две вещи: слишком глубокое закапывание в тупик и прямое копирование готовых ответов из литературы.
Вознаграждая только результат, получишь только результат без процесса.
Это справедливо как для обучения модели, так и для математического сообщества.
Что будет считаться настоящим прорывом?
Гауэрс предлагает самую строгую мерку.
Он приводит в пример проблему cap-set 2016 года.
Задача ставится так: в трехмерном высокоразмерном кубе (в пространстве над полем из трех элементов) нужно выбрать максимальное количество точек так, чтобы никакие три из них не образовывали арифметическую прогрессию. В течение десятилетий границу удавалось лишь понемногу сдвигать.
В том году появилось новое решение, которое разом отбросило предыдущий лучший результат, и использованный подход не был похож ни на один из тех, что он себе представлял.
Но оглядываясь назад, кажется, что так и нужно было сделать, хотя раньше это никому не приходило в голову.
Сразу же множество людей бросилось изучать, что еще можно сделать с этой новой техникой.
По-настоящему хороший метод решает не только текущую задачу — он заставляет группу людей мгновенно изменить направление своей работы.
В тот день, когда модель сама предоставит нечто сопоставимого уровня, он сочтет, что порог преодолен.
Эта статья из WeChat официального аккаунта «Новые прозрения ИИ» (新智元), автор: ASI启示录
