ИИ бросил вызов новой сложной математической задаче — на этот раз «гипотезе Римана».
Математическая гипотеза, рождённая в 1859 году, оставалась нерешённой в течение 167 лет, и за её доказательство назначена награда в 1 миллион долларов. Недавно кто-то внутри Anthropic дал пока что не выпущенной исследовательской версии Клода почти «невыполнимое» задание:
Серьёзно попытаться доказать гипотезу Римана.
Сооснователь Bun Джарред Самнер, который присоединился к Anthropic в декабре прошлого года
Клод действительно серьёзно попытался. Он последовательно выдвинул 650 идей, и все они потерпели неудачу. Затем он реорганизовал около 60 дочерних агентов Клода, которые непрерывно работали в течение полутора дней, выполнили около 2400 команд Shell, написали сотни скриптов на Python и провели тысячи численных проверок. В итоге гипотеза Римана так и не была доказана.
Но в ходе этой неудачной попытки Клод наткнулся на другой результат. Anthropic сообщает, что эта пока не выпущенная исследовательская версия Клода улучшила известную нижнюю границу доли нулей дзета-функции Римана, лежащих на критической линии, с 41,6% до 67,2%.
Другими словами, ранее человечество могло доказать, что по крайней мере 41,6% соответствующих нулей находятся в положении, предсказанном гипотезой Римана; результат, полученный Клодом, продвинул эту доказуемую долю до 67,2%.
Партнёр венчурной компании Menlo Ventures, исследователь Диди, заявил: «Результат Клода просто невероятен, возможно, это самый значительный прорыв в области аналитической теории чисел со времён прорыва в ограниченных интервалах между простыми числами в 2013 году. Он одним махом повысил долю нулей дзета-функции Римана, строго доказуемо лежащих на критической линии, на 25,6 процентных пункта. За предыдущие 37 лет математики в общей сложности увеличили эту цифру лишь на 0,8 процентных пункта».
Двое математиков из Anthropic впоследствии изучили и проверили статью Клода, а Клод также предоставил соответствующее формализованное доказательство на Lean. Теоретики чисел Брайан Конри и Дэн Голдстон также в короткие сроки провели рецензирование статьи.
Anthropic подчёркивает, что этот метод, вероятно, не может напрямую привести к окончательному доказательству гипотезы Римана. Но этот результат всё же даёт важный сигнал: математические способности передовых моделей начинают достигать по-настоящему нерешённых исследовательских задач.
Не решённая 167 лет гипотеза Римана
Важность гипотезы Римана связана с простыми числами. Дзета-функция Римана имеет глубокую связь с распределением простых чисел. В 1859 году немецкий математик Бернхард Риман выдвинул гипотезу: все «нетривиальные нули» дзета-функции должны иметь вещественную часть, равную 1/2.
На комплексной плоскости это означает, что все эти нули лежат на одной вертикальной линии — знаменитой критической линии.
Эта, казалось бы, абстрактная проблема имеет очень широкое влияние. Множество математических заключений о распределении простых чисел могут быть получены более точно при условии, что гипотеза Римана верна. Поэтому она стала одной из семи «Проблем тысячелетия» Математического института Клэя, и за её полное доказательство или опровержение можно получить приз в 1 миллион долларов.
За последнее столетие никто не смог доказать, что все нетривиальные нули лежат на критической линии, но математики могут доказать, что по крайней мере некоторая их часть находится именно там.
Таким образом, возникает относительно практичный вопрос: какую минимальную долю нулей, лежащих на критической линии, мы можем доказать? За десятилетия прогресса известная нижняя граница этой доли постепенно увеличилась примерно до 41,6%.
Клод как раз продвинул вперёд именно эту цифру.
От 41,6% до 67,2%
Результат, полученный Клодом, не возник на пустом месте.
В 1973 году математик Хью Монтгомери, изучая распределение нулей дзета-функции, ввёл ряд важных методов. Однако часть его анализа зависела от предположения о верности гипотезы Римана. В последние годы серия работ математиков развила соответствующие технологии, позволив использовать некоторые из этих методов без предварительного предположения о верности гипотезы Римана.
Это означает, что они, в свою очередь, могут помочь исследовать вопрос «сколько именно нулей лежит на критической линии». Клод, опираясь на эти работы, а также на связанные исследования, опубликованные Энрико Бомбьери примерно в 2000 году, нашёл новую комбинацию.
Итоговый результат: не менее 67,2% соответствующих нулей лежат на критической линии. По сравнению с предыдущей известной нижней границей в 41,6%, это увеличение на 25,6 процентных пунктов.
С технической точки зрения, Клод построил подходящее функциональное пространство и, используя квадратичную форму, индуцированную Вейлем, сопоставил нули на критической линии и нули, отклоняющиеся от неё, с положительно и отрицательно определёнными направлениями соответственно. Затем он использовал связь между рангом квадратичной формы и информацией о моментах первого и второго порядка для построения неравенства.
Математики Anthropic считают, что одним из ключевых моментов стало то, что Клод не обрабатывал положительно и отрицательно определённые части по отдельности, а анализировал всё пространство в единой структуре, одновременно позволяя квадратичной форме иметь внедиагональную структуру. В сочетании с результатами, уже установленными исследователями теории чисел, этот шаг в итоге привёл к нижней границе в 67,2%.
Здесь необходимо особо пояснить: Anthropic в настоящее время не утверждает, что эта технология может быть последовательно продвинута до 100%, и тем более не утверждает, что Клоду до доказательства гипотезы Римана осталось всего 32,8%.
67,2% — это улучшение нижней границы в связанной проблеме, и между этим и полным доказательством гипотезы Римана по-прежнему существует огромное теоретическое расстояние.
31 миллион выходных токенов, 60 дочерних агентов —
Как Клод нашёл это решение?
В этом эксперименте также заслуживает внимания способ решения проблемы, который использовал Клод. Весь результат был получен в ходе двух сессий работы с Claude Code, общее потребление составило около 31 миллиона выходных токенов.
Изначально Джарред Самнер дал Клоду очень открытую инструкцию: серьёзно попытаться доказать гипотезу Римана.
Сам Самнер не является математиком и не указывал Клоду конкретный математический путь.
На первом этапе Клод сгенерировал и попробовал около 650 идей. Все потерпели неудачу.
Затем Самнер попросил его продолжать попытки. Второй этап длился примерно полтора дня.
Клод организовал около 60 дочерних агентов, разбив проблему на несколько направлений для параллельного исследования. Эти агенты выполнили в общей сложности около 2400 команд Shell, написали сотни скриптов на Python и провели тысячи численных проверок известных нулей дзета-функции.
Разные дочерние агенты также взаимно рецензировали результаты друг друга.
По словам Anthropic, Самнер на этом этапе практически не давал математических указаний. В основном он говорил Клоду: «Продолжай», «Попробуй ещё раз», «Верь в себя». В Anthropic даже упомянули, что поначалу Клод сам сомневался, сможет ли он добиться реального прогресса в такой знаменитой открытой проблеме. Только после непрерывных исследований эта новая нижняя граница постепенно проявилась.
Найдя результат, Клод запустил раунд самопроверки. Некоторые дочерние агенты специализировались на проверке доказательства, другие искали контрпримеры; Клод также загрузил 54 статьи с arXiv, чтобы проверить, не были ли аналогичные результаты уже получены другими математиками.
Затем он снова поручил независимому агенту заново вывести результат с нуля. Убедившись, что явных проблем нет, Клод сам предложил оформить результат в виде статьи и чётко заявил: следует найти настоящего эксперта по теории чисел для ручной проверки.
Внутренние математики Anthropic Левент Алпёге и Ральф Фурман затем начали проверять статью, анализировать её связь с существующей литературой. В то же время Клод совместно с сотрудником Anthropic Эриком Исли перевёл ключевой результат в формализованное доказательство на Lean. Этот формализованный результат уже прошёл проверку стандартным инструментом верификации Lean Comparator.
Anthropic также пригласила математиков, изучающих дзета-функцию Римана, Брайана Конри и Дэна Голдстона для рецензирования статьи. Таким образом, более точным на данный момент будет сказать: внутренние математики Anthropic уже провели исследование и верификацию результата и завершили машинно-проверяемое формализованное доказательство, в то время как двое внешних экспертов в данной области провели рецензирование статьи. Это всё ещё отличается от этапа завершения традиционного академического рецензирования и формирования консенсуса в математическом сообществе.
Дополнительные ссылки:
Статья Клода: https://www-cdn.anthropic.com/564f962e60643842f5fcb4a17c9dbc8f608f1c37.pdf
Адрес проекта Клода: https://github.com/anthropics/zeta-23-lean
Ссылки для справки:
https://x.com/AnthropicAI/status/2086867246073401655
https://www.anthropic.com/research/riemann-zeta
https://x.com/jarredsumner/status/2086869681785500011
Эта статья взята с официального аккаунта WeChat «机器之心», автор: редакция «机器之心», занимающаяся математикой ИИ
