Una IA se enfrenta a un nuevo enigma matemático, esta vez la «Hipótesis de Riemann».
Una conjetura matemática nacida en 1859, sin resolver durante 167 años y con una recompensa de un millón de dólares. Recientemente, alguien dentro de Anthropic asignó una tarea casi "injustificable" a una versión de investigación de Claude aún no lanzada:
Intenta seriamente abordar la Hipótesis de Riemann.
Jarred Sumner, cofundador de Bun, que se unió a Anthropic en diciembre del año pasado
Claude lo intentó seriamente. Propuso 650 ideas, todas fallidas. Luego reorganizó alrededor de 60 subagentes de Claude, trabajó continuamente durante un día y medio, ejecutó unos 2400 comandos de Shell, escribió cientos de scripts en Python y realizó miles de verificaciones numéricas. Al final, la Hipótesis de Riemann seguía sin resolverse.
Pero en este intento fallido, Claude tropezó con otro resultado. Anthropic reveló que esta versión de investigación aún no lanzada mejoró la cota inferior de la proporción de ceros conocidos que se encuentran al menos en la línea crítica de la función ζ de Riemann, del 41.6% al 67.2%.
En otras palabras, anteriormente los humanos podían demostrar que al menos el 41.6% de los ceros relevantes cumplían la posición predicha por la Hipótesis de Riemann; el resultado dado por Claude avanzó esta proporción demostrable al 67.2%.
El socio e investigador de la firma de capital de riesgo Menlo Ventures, Deedy, dijo: «El resultado de Claude esta vez es simplemente absurdo, posiblemente el avance más significativo en la teoría analítica de números desde el avance de los intervalos primos acotados en 2013. Aumentó la proporción de ceros de la función ζ de Riemann que se pueden demostrar rigurosamente que están en la línea crítica en 25.6 puntos porcentuales. En los 37 años anteriores, los matemáticos solo habían mejorado este número en 0.8 puntos porcentuales».
Posteriormente, dos matemáticos de Anthropic estudiaron y verificaron el artículo de Claude, quien también proporcionó la correspondiente prueba formalizada en Lean. Los teóricos de números Brian Conrey y Dan Goldston también revisaron el artículo en un tiempo relativamente corto.
Anthropic enfatiza que este método probablemente no conduzca directamente a la prueba final de la Hipótesis de Riemann. Pero este resultado aún proporciona una señal digna de atención: la capacidad matemática de los modelos de vanguardia está comenzando a abordar problemas de investigación realmente sin respuestas preparadas.
La Hipótesis de Riemann, 167 años sin resolver
La importancia de la Hipótesis de Riemann está relacionada con los números primos. Existe un vínculo profundo entre la función ζ de Riemann y la distribución de los números primos. En 1859, el matemático alemán Bernhard Riemann planteó la conjetura: la parte real de todos los «ceros no triviales» de la función ζ debería ser igual a 1/2.
En el plano complejo, esto significa que todos estos ceros caen en una línea vertical, la famosa línea crítica.
Este problema aparentemente abstracto tiene un alcance muy amplio. Muchas conclusiones matemáticas sobre la distribución de números primos pueden obtenerse de manera más precisa bajo la suposición de que la Hipótesis de Riemann es cierta. Por ello, es uno de los siete «Problemas del Milenio» del Instituto Clay de Matemáticas; una prueba completa o su refutación pueden otorgar un premio de un millón de dólares.
En el último siglo y medio, nadie ha podido demostrar que todos los ceros no triviales caigan en la línea crítica, pero los matemáticos pueden demostrar que al menos una parte de ellos se encuentra allí.
Así, surge una pregunta relativamente realista: ¿qué proporción mínima de ceros podemos demostrar que cae en la línea crítica? Tras décadas de avances, la cota inferior conocida de esta proporción aumentó gradualmente hasta aproximadamente el 41.6%.
Lo que Claude mejoró esta vez fue precisamente esta cifra.
Del 41.6% al 67.2%
El resultado obtenido por Claude no surgió de la nada.
En 1973, el matemático Hugh Montgomery, al estudiar la distribución de los ceros de la función ζ, introdujo una serie de métodos importantes. Sin embargo, parte de este análisis dependía de la premisa de que la Hipótesis de Riemann fuera cierta. En los últimos años, una serie de trabajos de matemáticos han desarrollado aún más las técnicas relevantes, permitiendo que algunos de estos métodos se utilicen sin asumir previamente la validez de la Hipótesis de Riemann.
Esto significa que tienen la oportunidad de ayudar, a su vez, a estudiar «cuántos ceros exactamente están en la línea crítica». Sobre la base de este trabajo, Claude combinó además investigaciones relevantes publicadas por Enrico Bombieri alrededor del año 2000, encontrando una nueva forma de combinarlos.
El resultado final fue: al menos el 67.2% de los ceros relevantes se encuentran en la línea crítica. En comparación con la cota inferior conocida anterior del 41.6%, esto representa una mejora de 25.6 puntos porcentuales.
Desde el punto de vista técnico, Claude construyó un espacio funcional adecuado y, utilizando la forma cuadrática inducida por Weil, asignó los ceros en la línea crítica y los que se desvían de ella a direcciones definidas positivas y negativas, respectivamente. Luego, utilizó la relación entre el rango de la forma cuadrática y la información de los momentos de primer y segundo orden para establecer desigualdades.
Los matemáticos de Anthropic creen que un punto clave es que Claude no trató por separado las partes definidas positiva y negativa, sino que analizó todo el espacio en un mismo marco, permitiendo al mismo tiempo que la forma cuadrática tuviera una estructura no diagonal. Combinando esto con resultados ya establecidos por investigadores previos en teoría de números, este paso finalmente condujo a la cota inferior del 67.2%.
Es necesario aclarar aquí: Anthropic actualmente no afirma que esta técnica pueda continuar avanzando hasta el 100%, y mucho menos afirma que a Claude le falte solo un 32.8% para demostrar la Hipótesis de Riemann.
El 67.2% es una mejora en la cota inferior de un problema relacionado, y todavía existe una gran distancia teórica entre eso y una prueba completa de la Hipótesis de Riemann.
31 millones de tokens de salida, 60 subagentes,
¿Cómo encontró Claude el resultado?
El modo en que Claude resolvió el problema también es digno de atención en este experimento. Todo el resultado se obtuvo en dos sesiones de Claude Code, consumiendo un total de aproximadamente 31 millones de tokens de salida.
Inicialmente, Jarred Sumner dio a Claude una instrucción muy abierta: intenta seriamente abordar la Hipótesis de Riemann.
Sumner no es matemático y no especificó una ruta matemática concreta para Claude.
En la primera ronda, Claude generó y probó aproximadamente 650 ideas. Todas fallaron.
Luego, Sumner le pidió que continuara intentándolo. La segunda ronda duró aproximadamente un día y medio.
Claude organizó alrededor de 60 subagentes, dividiendo el problema en varias direcciones para explorarlas en paralelo. Estos agentes ejecutaron aproximadamente 2400 comandos de Shell, escribieron cientos de scripts de Python y realizaron miles de verificaciones numéricas sobre los ceros conocidos de la función ζ.
Los diferentes subagentes también revisaban mutuamente sus resultados.
Según Anthropic, Sumner apenas proporcionó orientación matemática en esta etapa. Lo que hizo principalmente fue decirle constantemente a Claude «continúa», «inténtalo de nuevo», «confía en ti mismo». Anthropic incluso menciona que Claude inicialmente dudaba mucho de si podía lograr un progreso real en un problema abierto tan famoso. Hasta que, tras una exploración continua, esta nueva cota inferior fue apareciendo gradualmente.
Después de encontrar el resultado, Claude inició una ronda de autoverificación. Algunos subagentes se encargaron específicamente de verificar la prueba, otros buscaron contraejemplos; Claude también descargó 54 artículos de arXiv para comprobar si resultados similares ya habían sido obtenidos por otros matemáticos.
Posteriormente, hizo que un agente independiente derivara el resultado nuevamente desde el principio. Tras confirmar que no había problemas obvios, Claude sugirió activamente organizar los resultados en un artículo y propuso explícitamente: debería buscarse un verdadero experto en teoría de números para una verificación humana.
Los matemáticos internos de Anthropic, Levent Alpöge y Ralph Furman, comenzaron entonces a revisar el artículo, analizando su relación con la literatura existente. Simultáneamente, Claude también colaboró con el empleado de Anthropic Eric Easley para formalizar el resultado clave como una prueba en Lean. Este resultado formalizado ya ha sido verificado por la herramienta estándar de verificación de Lean, Comparator.
Anthropic también invitó a los matemáticos especializados en la función ζ de Riemann, Brian Conrey y Dan Goldston, a revisar el artículo. Por lo tanto, una declaración más precisa en este momento es: los matemáticos internos de Anthropic ya han estudiado y verificado el resultado, y han completado una prueba formalizada verificable por máquina, mientras que dos expertos externos en el campo han revisado el artículo. Esto sigue siendo una etapa diferente a haber completado la revisión por pares académica tradicional y haber formado un consenso en la comunidad matemática.
Más enlaces:
artículo de Claude: https://www-cdn.anthropic.com/564f962e60643842f5fcb4a17c9dbc8f608f1c37.pdf
repositorio del proyecto de Claude: https://github.com/anthropics/zeta-23-lean
Referencias:
https://x.com/AnthropicAI/status/2086867246073401655
https://www.anthropic.com/research/riemann-zeta
https://x.com/jarredsumner/status/2086869681785500011
Este artículo proviene del WeChat Official Account «机器之心», autor: 关注AI数学的机器之心
