一页纸,啃下了一篇要用44页顶刊论文才啃动的硬骨头。
1991年,《数学年刊》(Annals of Mathematics)上登出过一篇44页的论文。
作者叫József Beck,这个名字在组合数学圈无人不知。
他是Beck-Fiala定理的提出者,1985年Fulkerson奖得主,1986年国际数学家大会受邀报告人,差异理论的奠基者之一。
论文标题是《单位圆上零点多项式的模:埃尔德什的一个问题》,攻克的是埃尔德什问题库(Erdős Problems)里编号119的那道题。
在单位圆上随便取一串复数当零点,乘成多项式,这个多项式在单位圆上的最大模Mn,能不能保证在无穷多个n处超过n的c次方。
Beck证明了,能。这道题是那个年代公认最难啃的硬骨头。
AI领走了埃尔德什的赏金。119号问题当年一口气问了三问,第三问悬赏100美元,如今状态已改为SOLVED。
35年后,这篇论文被一页纸超过了。
说这话的,是Thomas Bloom。
他是一位数学家、曼彻斯特大学研究员,也是erdosproblems.com网站的创建者和维护者。
埃尔德什留下的1000多道开放问题都挂在这个网站上,是全球数学家追踪这些问题的第一站。
正因如此,AI公司每次宣称「解决了埃尔德什问题」,都要先过他这一关。
他在X上写道:
目前为止,GPT-5.6 Sol是我见过数学上最有意思的新模型。那些提交到erdosproblems.com的新证明,凡是我细看过的,全部正确,而且都包含一些有趣的想法。
Bloom还特意强调,这不是因为AI动用了什么更复杂的武器,而是我们原本以为,这道题比它实际上难得多。
OpenAI总裁Greg Brockman转发了这条推文,说了一句:
感觉这是推进数学的一个分水岭时刻。能真正改善人类生活的科学与医学突破,现在感觉非常近了。
埃尔德什的100美元悬赏,AI领走了
先把这道题的来龙去脉捋清楚。
1957年,埃尔德什在一篇论文里问出了这道题,一口气问了三问,问的是单位圆上零点多项式的模。
此后的四十年里,他在1961、1964、1982、1990、1997年反复重提。
第一问,Wagner在1980年拿下。
第二问,Beck在1991年拿下,证明存在某个c>0,使得max_{n≤N} M_n > N^c。这就是那篇44页的《数学年刊》论文。
Beck这篇论文发表于《数学年刊》1991年第134卷第3期
第三问,埃尔德什自己掏钱挂了100美元赏金,出处是他1997年的一篇文章。
现在,领走赏金的是GPT-5.6和一位叫Korsky的数学家。他们只用一页纸,就搞定了Beck没碰的那一问。
埃尔德什一生提出上千道问题,并自掏腰包为它们悬赏,金额从25美元到1万美元不等。
Bloom的评价是:GPT在Korsky的提示下,只用了1页简单的调和分析技巧,就证出了比Beck那篇44页Annals论文更强的结果。
关键的一步,Bloom后来在讨论区里点破了:把一个非负函数做卷积,再在时间上平移1,表达式一下子就光滑了,原本硬啃的地方顺了下来。
他说,这种把算子范数放到对偶范数和内积里去估的路数,本来就是分析里最常用的招之一。
不是新工具,是旧工具用在了没人想过的地方。
Bloom说明,Beck那篇Annals论文里有许多重要而有趣的想法,只是这道题用不上。他补了一句:至少对我来说,这挺意外的。
他还提到一个细节:没人算过那个常数,估计非常小。Beck自己当年也没算,而依他的判断,如果那个常数值得一提,Beck不会不算。
所以,这不是AI推翻了顶刊,而是发现了一条人类本来可以不绕的弯路。
对数学家来说,这比「AI又解出一道题」刺激得多。
解出一道题,只是多了个工具。这一次,是工具反过来纠正了用工具的人。
人会耸耸肩走开,AI会接着试下一个
如果只有这一件事,它顶多算个漂亮的孤例。
GPT-5.6 Sol Ultra于7月9日全量放开,7月10日,OpenAI宣布GPT-5.6 Sol Ultra产出了Cycle Double Cover猜想的完整证明。
这道题由Szekeres在1973年、Seymour在1979年各自独立提出,悬了约五十年。
模型被分配了8小时,实际用了不到1小时,跑法是64个子智能体并行开工。提示词和证明PDF全部公开。
Bloom是第一个给出实质评价的人。
他说这是一个很漂亮的证明,然后给了三个形容词:
短。初等。1980年代就本可以被发现。
他也点出了背后的原因:他推测,关键那一步里有一个很小的、反直觉的拐弯。
一个人类数学家会怎么处理这道题?
他会先试那个最自然的做法,检查一遍线性代数,发现不行,然后耸耸肩,心里想一句「本来也没指望能这么容易」,起身走人。
但AI不会气馁。它会接着做小变体,直到某一个成立为止。
AI强在不做情绪性止损。
回头看今年4月,GPT-5.4 Pro在80分钟里解掉了Erdős 1196,用的是von Mangoldt函数。
牛津的Jared Lichtman在那个问题上耗了七年,他后来说,自1935年以来,所有做原始集问题的人都习惯了同一个开局动作,而那个动作,遮蔽了一个在明处摆了整整90年的技术可能。
陶哲轩看完的评价更狠:过去几十年,人类在第一步就集体走偏了。
人类的直觉当然不是缺陷。恰恰相反,它是效率工具:替我们省掉了海量注定失败的尝试,没有它,没人能在有限的一生里走到学科前沿。
代价是,偶尔它也会省掉不该省的那一次。
说GPT-5.6有意思的人,去年说过另一句话
去年10月,Bloom曾公开打脸OpenAI。
当时,OpenAI副总裁Kevin Weil转发了Mark Sellke的帖子并写道:GPT-5刚刚找到了10道此前未解的埃尔德什问题的解,另有11道取得进展,这些题都已经开放了数十年。
Bloom一句话回应为此定性:戏剧性的误导。
他说这些题在网站上标着open,只意味着他本人不知道有哪篇论文解决过它。GPT-5干的事情,是把他不知道的那些文献翻了出来。
而找到文献,不等于造出证明。
接下来的情形,许多人都记得。
LeCun在旁边补刀,暗讽自己埋的雷炸了自己。Hassabis更直接:这太尴尬了。
Weil删帖。
OpenAI研究员Sébastien Bubeck最后承认只是找到了文献里已有的解。
今年5月OpenAI再宣布推翻一个1946年的埃尔德什几何猜想时,在公告里同步附上Noga Alon、Melanie Wood和Thomas Bloom的评价。
AI数学撞墙了吗?
Bloom那条帖子底下的论战,也很精彩。
唱衰派以用户qrdl为代表,「5.6的思维链输出少得可怜,677那道题毫无进展,物理侧的CritPT评测相比5.4几乎没动」。
他的结论是:AI在数学上已经撞墙了。
用户qrdl在论坛发帖,说CritPT自5.4以来几乎没动,除非他们找到了给基准刷分的办法,否则结果也就这样。
qrdl的论证倒不情绪化。
他认为大模型本质上是静态权重的token生成器,做数学的时候,不会像人一样实时长出新的神经连接。而真正的创造性跳跃,需要一个有弹性的大脑。
qrdl的体感是:每次开新会话去攻677,模型就把那些早已失败过的老招式再来一遍。
回怼来得也很快。
Nat Sothanaphan指出,CritPT是物理测试,不是数学基准,拿它一家的曲线证明AI在数学上撞墙,是挑对自己有利的数据。
他给的反证是:5.6在包括FrontierMath在内的一大批评测上都比5.5有提升。
另一派是实战派,代表是名为old-bielefelder的用户。
old-bielefelder报告,GPT-5.6 Sol思考14分钟、复核9分多钟,把Pintz 2018年那个0.72的指数改进到0.7195。
不算惊天动地,但确实动了,用old-bielefelder自己的说法是「第一口奶」。
作为对照,前一天晚上GPT-5.5在同一个问题上磨了一个多小时,0.72纹丝不动。
他随后把结果直接通知了Pintz本人。
第三种声音同样来自Nat Sothanaphan,他借用了Bloom的一个说法:现代数学是一座巨大的教堂。
走到这座教堂的最前沿本身就极耗力气,而大模型已经能以超人的效率做到这件事,最近的突破基本都源于此。再往前推,需要的是流动智力。
有人说大模型没有流动智力,他认为这是错的。
ARC系列评测这几年的持续上涨就是证据,GPT-5.6 Sol在最高推理档位下拿到7.8%。这个基准今年3月上线时,最好成绩是0.37%,而人类稳定在90%以上。
ARC Prize官方验证成绩。GPT-5.6 Sol在ARC-AGI-3上的表现随推理档位陡升,Low档只有0.3%,Max档拿到7.8%。
他的解释是:教堂的地基太庞大了,庞大到把那点正在快速生长的流动智力完全盖住。所以你光看产出的分量,会觉得什么都没发生。
但等到某一天流动智力开始压过地基,它会突然变得肉眼可见。
吵了两周,这场争论真正吵出来的,不是「AI能不能做数学」,是「难」这个字要怎么定义。
数学史上那些标着「悬而未决」的条目,一部分记录的是问题本身的难度,另一部分记录的只是人类耐心的边界。
过去这两者混在一起,没人分得开。现在,开始能区分了。
一道题挂了几十年没人领走,可能不是因为它有多难,而是因为没人肯在那条路上再试第三十次。
还有多少题目,卡住它们的其实只是人类的耐心?
参考资料:
https://annals.math.princeton.edu/1991/134-3/p03
https://www.erdosproblems.com/forum/thread/AI%20Contributions
https://arcprize.org/results/openai-gpt-5-6-sol
本文来自微信公众号“新智元”,作者:ASI启示录;编辑:元宇
