给AI一道数学猜想,它先琢磨的居然是:怎么把它推翻找反例!!
这番听着多少有点数学界反骨的判断,正出自1998年菲尔兹奖得主、英国数学家Timothy Gowers。
最近Gowers老哥闲来无事把这几个月AI最轰动的数学战绩往桌上一摊,发现了一件画风非常统一的事儿——
雅可比猜想,找反例。
Erdős单位距离猜想,找反例。
非sofic群问题,构造一个过去没人找到的例子。
多色Ramsey数问题,核心依旧是构造出满足要求的新对象。
人类数学家:这个结论到底为什么成立?
AI:先等会儿,你这结论......真成立吗?(一身反骨.jpg)
所以,问题来了。
为啥AI们一碰上数学猜想,就这么爱往反例堆里钻啊我说!?
AI最近最出圈的数学突破,都在“找反例”
先说一个大家比较容易搞混的点。
Gowers这里提到的「找反例」和学生时代学过的「反证法」,其实还真有亿 点点 区别。
我们上学时学的反证法,是一种证明技巧:先假设结论不成立,再一路推导,直到撞出矛盾,由此证明原命题成立。
Gowers这里说的「找反例」就直给多了——
比如有人提出:所有满足A的对象,都具有B性质。
那AI只需要从一大堆对象里薅出来一个,它明明满足A,偏偏就是没有B。
完。
整条猜想当场寄。
也真不怪Gowers会注意到这个规律。
主要吧,最近AI最轰动的几场数学突破,还真有不少都是这么干出来的。
就拿上个月OpenAI内部模型搞定的Erdős单位距离问题来说。
近80年里,数学界围绕它形成了一个长期被广泛相信的增长判断,很多研究工作的思路,也都是冲着怎么把这个判断证明出来去的。
结果AI一上来,画风直接180度大拐弯。
人家没急着顺着人类几十年的思路一路往前拱,反倒花了大量推理预算琢磨另一件事儿——
有没有可能,直接给这个判断找个反例?
最后它真找到了,模型把原本属于代数数论的一套工具搬进离散几何,用更加复杂的数域构造出一整族点集,使单位距离对的数量以此前预期之外的速度增长。
一个流传数十年的判断,就这么被一个具体构造直接《击穿》。
更有意思的是,数学家们后来去翻其推理轨迹,发现它大量时间真的都花在尝试各种构造、寻找反例上。(doge)
这事儿才过去没多久,Claude又给「AI特别会拆猜想」这件事狠狠干了一次实锤。
数学家Levent Alpöge借助Claude,找到了雅可比猜想相关问题中的反例。
这类成果最有反差感的地方就在这儿,AI最后并不需要铺开一套浩浩荡荡的正面证明,只需要把那个特殊对象端上来,然后逐项检查——
前提,满足。
结论,失败。
那这个猜想基本就可以收工了。
到了Gowers这里,他再回头看OpenAI最近公布的10项数学成果,也发现了类似的味道。
比如长期悬而未决的「是否所有群都是sofic群」问题,AI给出的突破方式就是直接构造出一个非sofic群。
再比如多色Ramsey数的进展,虽然最后呈现出来的是严格的下界证明,但整个突破过程依然带着非常强构造味:
你得先找到那些足够特殊、足够刁钻的组合对象,后面的证明才有地方落脚。
于是一个越来越明显的规律冒出来了。
当前AI最容易做出大动静的数学问题,很多其实都可以被压缩成一句非常机器友好的话——
“有没有这么一个东西?”
如果答案真的是有,那模型最擅长的那套打法就开始发挥作用了。
疯狂搜索,跨领域搬工具,重组现成技巧,反复试构造,再从巨大的数学对象空间里把那个东西硬薅出来。
所以,AI真正擅长的并不只是大家字面上理解的反证。
更准确地说,它现在尤其擅长一类数学任务:在一个大到人类根本不可能穷举的空间里,找到那个确实存在,但一直没人找到的特殊对象。
AI为啥喜欢在这种题里找反例?
问题来了,那么,为啥AI偏偏热衷于给数学猜想找茬啊???
Gowers给出的解释其实相当朴素,大模型眼下至少有两个肉眼可见的优势。
第一,知道得多。(doge)
如果一道题的突破口藏在某个已有数学工具、某个相邻领域,或者某种人类很少顺手搭在一起的技巧组合里,大模型很有机会直接把它们从自己的知识仓库里翻出来。
单位距离问题就是非常典型的例子。
要知道这个问题长期属于离散几何和组合数学语境,而AI找到的突破却借用了更偏代数数论的工具。
对于人类来说,这种跨领域跳跃有时需要某个研究者恰好同时懂两边。
对于模型来说,两个领域都已经躺在上下文和训练知识里,组合成本天然低不少。。。
第二,试得起。
OpenAI最近公布的10项数学与理论计算机科学成果,找到一些AI找数学反例消耗的全部Token,按API价格折算也就「数千」美元。
换句话说,很多对人类数学家来说成功率太低,不值得烧几个月的路线,AI完全可以放开了试!!
Gowers在文章里也专门盘了一遍,数学家平时到底是怎么找例子、找反例的——
最简单的一种,就是先拿那些《祖传》经典对象挨个测。
比如你提出一个关于布尔函数的猜想,先拿几个祖传测试样本去验:
独裁函数、多数函数、奇偶函数、tribes函数......如果这些都过了,再谈别的。
第二种是拼装,从基础对象出发,取积、取商、取极限,换个构造方式,再看能不能得到想要的性质。
还有随机法,显式构造太难,就从某个分布里随机挑对象,证明高概率它满足你的条件。
再有一种逐步逼近法,先写一个大概不太对的候选答案,不是因为觉得它能成,而是想观察它究竟错在哪。修一个缺陷,得到第二版;再修,得到第三版。。。
前面那些大量试对象、换构造、随机搜索的玩法,都非常适合大模型,知识库够大、速度够快、失败成本又低,真有可能靠海量尝试把答案撞出来。
但越往后,就越考验一种很难写进公式里的能力:走到半路,你能不能闻出来这条路到底有没有戏。
Gowers把它叫作数学家的「鼻子」。
一个真正厉害的研究者,不是永远不走错路,而是能在搜索树刚长出一堆分叉时,迅速砍掉99%的枝条,只保留最值得投入的那几根。
偏偏这件事,目前AI还经常干得有点喜感,比如Gowers和AI讨论开放问题时,就常遇到一种尴尬体验——
AI会提出听起来很有前景的方案,细想后却没那么可靠,AI还很爱说:虽然没解出原题,但我把问题缩小成了一个更精确的子问题~
第一次听,确实很兴奋哈。
但第五次还停在不同版本的更精确子问题,人类数学家大概就要开始犯嘀咕了:这到底是在逼近答案,还是把迷路描述得越来越优雅捏?
这也是Gowers没有把AI神化的原因。
他并不认为人类会永远保住这项优势,相反,他明确预计模型会继续快速进步,甚至一两年内就可能长出更强的鼻子。
只是眼下,AI的强项还更像广度优先:广泛调用已有知识、广泛探索可能路径、在海量尝试中碰到解法。
最后更有意思的是,Gowers给AI真正进入顶级数学创造阶段,设下了一个相当浪漫的验收标准——
AI哪天给出的解法,不光把题做出来了,还能冒出一种大家从没想过的新方法。
更妙的是,这方法回头一看又特别顺,甚至能被其他数学家接着拿去做出一串新成果。
到了那一步,AI完成的事情,就已经远远超出从巨大搜索空间里把答案薅出来。
AI在数学界的身份,可能才真的变了。
参考链接:
[1]https://gowers.wordpress.com/2026/08/12/what-sort-of-maths-are-llms-good-at/
本文来自微信公众号“量子位”,作者:关注前沿科技
