Một trang giấy, đã giải quyết được một vấn đề khó mà trước đó cần tới một bài báo 44 trang trên tạp chí hàng đầu.
Năm 1991, trên tạp chí Annals of Mathematics đã đăng một bài báo dài 44 trang.
Tác giả là József Beck, một cái tên mà trong giới toán học tổ hợp không ai không biết.
Ông là người đề xuất Định lý Beck-Fiala, người đoạt giải Fulkerson năm 1985, diễn giả được mời tại Đại hội Toán học Quốc tế năm 1986, một trong những người đặt nền móng cho lý thuyết sự khác biệt.
Tiêu đề bài báo là “Chuẩn của đa thức không điểm trên đường tròn đơn vị: Một vấn đề của Erdős”, chinh phục vấn đề số 119 trong kho vấn đề Erdős (Erdős Problems).
Lấy một dãy số phức tùy ý trên đường tròn đơn vị làm không điểm, nhân chúng thành một đa thức, chuẩn lớn nhất Mn của đa thức này trên đường tròn đơn vị, có thể đảm bảo rằng tại vô số n, nó vượt quá n^c (n mũ c) hay không.
Beck đã chứng minh rằng: Có thể. Bài toán này từng được coi là một trong những vấn đề khó nhất để giải quyết ở thời đó.
AI đã nhận giải thưởng của Erdős. Vấn đề số 119 ban đầu hỏi ba câu hỏi một lúc, câu hỏi thứ ba treo thưởng 100 đô la, hiện trạng thái đã được đổi thành ĐÃ GIẢI.
35 năm sau, bài báo này đã bị vượt qua bởi một trang giấy.
Người nói điều này, là Thomas Bloom.
Ông là một nhà toán học, nhà nghiên cứu tại Đại học Manchester, cũng là người sáng lập và duy trì trang web erdosproblems.com.
Hơn 1000 vấn đề mở do Erdős để lại đều được đăng trên trang web này, là điểm dừng chân đầu tiên của các nhà toán học toàn cầu để theo dõi những vấn đề này.
Chính vì vậy, mỗi lần một công ty AI tuyên bố "đã giải được vấn đề của Erdős", đều phải vượt qua ải của ông trước.
Ông viết trên X:
Cho đến nay, GPT-5.6 Sol là mô hình mới thú vị nhất về mặt toán học mà tôi từng thấy. Tất cả các chứng minh mới được gửi lên erdosproblems.com mà tôi đã xem xét kỹ đều đúng, và đều chứa đựng một số ý tưởng thú vị.
Bloom còn đặc biệt nhấn mạnh, điều này không phải vì AI sử dụng vũ khí phức tạp hơn nào, mà là vì chúng ta vốn tưởng rằng, vấn đề này khó hơn nhiều so với thực tế của nó.
Chủ tịch OpenAI Greg Brockman đã chuyển tiếp bài đăng này, nói một câu:
Có cảm giác đây là thời khắc bước ngoặt trong việc thúc đẩy toán học. Những đột phá khoa học và y học thực sự có thể cải thiện cuộc sống con người, giờ đây cảm thấy rất gần rồi.
Giải thưởng 100 đô la của Erdős, AI đã nhận
Trước tiên hãy làm rõ lai lịch của vấn đề này.
Năm 1957, Erdős đã đặt ra vấn đề này trong một bài báo, một lúc hỏi ba câu, hỏi về chuẩn của đa thức không điểm trên đường tròn đơn vị.
Trong bốn mươi năm sau đó, ông đã nhắc lại nhiều lần vào các năm 1961, 1964, 1982, 1990, 1997.
Câu hỏi đầu tiên, Wagner giải quyết năm 1980.
Câu hỏi thứ hai, Beck giải quyết năm 1991, chứng minh rằng tồn tại một c>0 nào đó, sao cho max_{n≤N} M_n > N^c. Đó chính là bài báo 44 trang trên Annals of Mathematics.
Bài báo của Beck này được xuất bản trên Annals of Mathematics, Tập 134, Số 3, năm 1991.
Câu hỏi thứ ba, chính Erdős tự bỏ tiền treo thưởng 100 đô la, xuất xứ từ một bài báo của ông năm 1997.
Bây giờ, người nhận giải thưởng là GPT-5.6 và một nhà toán học tên Korsky. Họ chỉ dùng một trang giấy, đã giải quyết được câu hỏi mà Beck chưa chạm tới.
Erdős cả đời đưa ra hàng nghìn vấn đề, và tự bỏ tiền treo thưởng cho chúng, số tiền từ 25 đô la đến 10.000 đô la.
Đánh giá của Bloom là: GPT dưới sự gợi ý của Korsky, chỉ dùng 1 trang kỹ thuật giải tích điều hòa đơn giản, đã chứng minh được kết quả mạnh hơn bài báo 44 trang Annals của Beck.
Bước then chốt, Bloom sau đó đã chỉ ra trong khu vực thảo luận: Lấy một hàm không âm thực hiện tích chập, rồi dịch chuyển thời gian đi 1, biểu thức lập tức trở nên trơn tru, chỗ khó nhai trước đây trôi chảy.
Ông nói, cách đưa chuẩn toán tử vào chuẩn đối ngẫu và tích trong để ước lượng này, vốn là một trong những chiêu thường dùng nhất trong giải tích.
Không phải công cụ mới, mà là công cụ cũ được dùng ở nơi không ai nghĩ tới.
Bloom giải thích, trong bài báo Annals của Beck có nhiều ý tưởng quan trọng và thú vị, chỉ là bài toán này không dùng đến. Ông bổ sung một câu: Ít nhất với tôi, điều này khá bất ngờ.
Ông còn đề cập đến một chi tiết: Không ai tính toán hằng số đó, ước tính nó rất nhỏ. Bản thân Beck năm đó cũng không tính, và theo đánh giá của ông, nếu hằng số đó đáng để nhắc đến, Beck đã không bỏ qua.
Vì vậy, đây không phải là AI lật đổ tạp chí hàng đầu, mà là phát hiện ra một con đường vòng mà con người vốn có thể không cần đi.
Với các nhà toán học, điều này kích thích hơn nhiều so với "AI lại giải được một bài toán".
Giải được một bài toán, chỉ là thêm một công cụ. Lần này, là công cụ ngược lại sửa chữa người dùng công cụ.
Con người sẽ nhún vai bỏ đi, AI sẽ thử tiếp cái tiếp theo
Nếu chỉ có chuyện này, nó nhiều lắm cũng chỉ là một trường hợp cá biệt đẹp mắt.
GPT-5.6 Sol Ultra được mở toàn bộ vào ngày 9 tháng 7, ngày 10 tháng 7, OpenAI thông báo GPT-5.6 Sol Ultra đã tạo ra chứng minh hoàn chỉnh cho Giả thuyết Cycle Double Cover.
Bài toán này được Szekeres đề xuất độc lập năm 1973, và Seymour năm 1979, treo lơ lửng khoảng năm mươi năm.
Mô hình được phân bổ 8 giờ, thực tế dùng chưa đến 1 giờ, cách chạy là 64 tác nhân con hoạt động song song. Prompt và file PDF chứng minh đều được công khai.
Bloom là người đầu tiên đưa ra đánh giá thực chất.
Ông nói đây là một chứng minh rất đẹp, sau đó đưa ra ba tính từ:
Ngắn. Sơ cấp. Đáng lẽ đã có thể được phát hiện từ những năm 1980.
Ông cũng chỉ ra nguyên nhân đằng sau: Ông suy đoán, trong bước then chốt đó có một khúc ngoặt rất nhỏ, phản trực giác.
Một nhà toán học con người sẽ xử lý bài toán này thế nào?
Anh ta sẽ thử cách làm tự nhiên nhất trước, kiểm tra lại đại số tuyến tính, phát hiện không được, rồi nhún vai, trong lòng nghĩ một câu "vốn dĩ cũng không mong dễ thế", đứng dậy bỏ đi.
Nhưng AI không nản chí. Nó sẽ tiếp tục làm các biến thể nhỏ, cho đến khi một cái nào đó thành công.
AI mạnh ở chỗ không dừng lỗi theo cảm xúc.
Nhìn lại tháng 4 năm nay, GPT-5.4 Pro trong 80 phút đã giải được Erdős 1196, sử dụng hàm von Mangoldt.
Jared Lichtman của Oxford đã bỏ ra bảy năm cho vấn đề đó, sau này ông nói, từ năm 1935, tất cả những người làm vấn đề tập nguyên thủy đều quen với một động tác mở đầu giống nhau, và động tác đó, đã che khuất một khả năng kỹ thuật đã nằm sờ sờ suốt 90 năm.
Đánh giá của Terence Tao sau khi xem xong còn gay gắt hơn: Mấy chục năm qua, con người đã đi chệch ngay từ bước đầu tiên.
Trực giác của con người dĩ nhiên không phải là khiếm khuyết. Ngược lại, nó là công cụ hiệu quả: giúp chúng ta bỏ qua vô số lần thử chắc chắn thất bại, không có nó, không ai có thể đi đến biên giới của ngành học trong một đời người hữu hạn.
Cái giá là, đôi khi nó cũng bỏ qua lần không nên bỏ.
Người nói GPT-5.6 thú vị, năm ngoái đã nói một câu khác
Tháng 10 năm ngoái, Bloom từng công khai phản bác OpenAI.
Khi đó, Phó chủ tịch OpenAI Kevin Weil đã chuyển tiếp bài đăng của Mark Sellke và viết: GPT-5 vừa tìm ra lời giải cho 10 vấn đề Erdős chưa được giải trước đó, thêm 11 vấn đề khác có tiến triển, những bài này đã mở suốt mấy chục năm.
Bloom một câu trả lời đã định tính điều này: Sự dẫn dắt gây kịch tính.
Ông nói những vấn đề này trên trang web được đánh dấu là mở (open), chỉ có nghĩa là bản thân ông không biết có bài báo nào đã giải quyết nó. Việc GPT-5 làm, là lật ra những tài liệu mà ông không biết.
Mà tìm được tài liệu, không bằng tạo ra chứng minh.
Tình hình tiếp theo, nhiều người còn nhớ.
LeCun ở bên cạnh bổ sung đao, ám chỉ quả mìn mình chôn lại nổ chính mình. Hassabis trực tiếp hơn: Thật là xấu hổ.
Weil xóa bài đăng.
Nhà nghiên cứu OpenAI Sébastien Bubeck cuối cùng thừa nhận chỉ là tìm ra lời giải đã có trong tài liệu.
Tháng 5 năm nay khi OpenAI lại thông báo lật đổ một phỏng đoán hình học của Erdős năm 1946, đã đồng thời đính kèm đánh giá của Noga Alon, Melanie Wood và Thomas Bloom trong thông báo.
AI toán học đã đâm vào tường?
Cuộc tranh luận dưới bài đăng của Bloom, cũng rất hấp dẫn.
Phe bi quan lấy người dùng qrdl làm đại diện, "Đầu ra chuỗi suy nghĩ của 5.6 ít đến đáng thương, bài toán 677 hoàn toàn không có tiến triển, đánh giá CritPT về phía vật lý so với 5.4 hầu như không nhúc nhích".
Kết luận của anh ta là: AI trong toán học đã đâm vào tường rồi.
Người dùng qrdl đăng bài trên diễn đàn, nói rằng CritPT từ 5.4 đến nay hầu như không động, trừ phi họ tìm được cách gian lận điểm chuẩn, còn không kết quả cũng chỉ vậy.
Lập luận của qrdl không mang tính cảm xúc.
Anh ta cho rằng bản chất của mô hình lớn là bộ sinh token với trọng số tĩnh, khi làm toán, sẽ không như con người mọc ra kết nối thần kinh mới theo thời gian thực. Mà một bước nhảy sáng tạo thực sự, cần một bộ não có tính đàn hồi.
Cảm nhận của qrdl là: Mỗi lần mở phiên mới để tấn công bài 677, mô hình lại lặp lại những chiêu cũ đã thất bại từ lâu.
Phản bác lại cũng đến rất nhanh.
Nat Sothanaphan chỉ ra, CritPT là bài kiểm tra vật lý, không phải điểm chuẩn toán học, lấy đường cong của một mình nó để chứng minh AI đâm vào tường trong toán học, là chọn dữ liệu có lợi cho mình.
Bằng chứng phản biện anh đưa ra là: 5.6 trên một loạt lớn đánh giá bao gồm cả FrontierMath đều có cải thiện so với 5.5.
Một phe khác là phe thực chiến, đại diện là người dùng tên old-bielefelder.
old-bielefelder báo cáo, GPT-5.6 Sol suy nghĩ 14 phút, kiểm tra lại hơn 9 phút, đã cải thiện số mũ 0.72 của Pintz năm 2018 lên 0.7195.
Không phải kinh thiên động địa, nhưng thực sự có tiến triển, dùng cách nói của chính old-bielefelder là "dòng sữa đầu tiên".
Để đối chiếu, tối hôm trước GPT-5.5 mài cùng một vấn đề hơn một tiếng, 0.72 vẫn không nhúc nhích.
Sau đó anh trực tiếp thông báo kết quả cho chính Pintz.
Âm thanh thứ ba cũng đến từ Nat Sothanaphan, anh mượn một cách nói của Bloom: Toán học hiện đại là một nhà thờ khổng lồ.
Đi đến biên giới mới nhất của nhà thờ này bản thân đã cực kỳ hao sức, mà mô hình lớn đã có thể làm việc đó với hiệu suất siêu nhân, những đột phá gần đây cơ bản đều bắt nguồn từ đây. Muốn đẩy xa hơn nữa, cần trí tuệ linh hoạt (fluid intelligence).
Có người nói mô hình lớn không có trí tuệ linh hoạt, anh cho rằng điều đó sai.
Chuỗi đánh giá ARC tăng liên tục mấy năm nay là bằng chứng, GPT-5.6 Sol ở mức suy luận cao nhất đạt 7.8%. Điểm chuẩn này khi ra mắt tháng 3 năm nay, thành tích tốt nhất là 0.37%, còn con người ổn định trên 90%.
Kết quả xác minh chính thức của ARC Prize. Biểu hiện của GPT-5.6 Sol trên ARC-AGI-3 tăng mạnh theo mức suy luận, mức Low chỉ có 0.3%, mức Max đạt 7.8%.
Giải thích của anh là: Nền móng của nhà thờ quá đồ sộ, đồ sộ đến mức che lấp hoàn toàn phần trí tuệ linh hoạt đang lớn nhanh đó. Vì vậy bạn chỉ nhìn vào trọng lượng đầu ra, sẽ cảm thấy như chẳng có gì xảy ra.
Nhưng chờ đến một ngày nào đó trí tuệ linh hoạt bắt đầu áp đảo nền móng, nó sẽ đột nhiên trở nên có thể nhìn thấy bằng mắt thường.
Tranh luận hai tuần, điều cuộc tranh luận này thực sự tranh luận ra, không phải là "AI có thể làm toán hay không", mà là chữ "khó" phải định nghĩa thế nào.
Những mục được đánh dấu "treo chưa giải quyết" trong lịch sử toán học, một phần ghi lại độ khó của chính vấn đề, phần khác chỉ ghi lại ranh giới kiên nhẫn của con người.
Trước đây hai điều này trộn lẫn với nhau, không ai tách ra được. Bây giờ, bắt đầu có thể phân biệt rồi.
Một bài toán treo mấy chục năm không ai nhận, có thể không phải vì nó khó đến thế, mà là vì không ai chịu thử lần thứ ba mươi trên con đường đó.
Còn bao nhiêu bài toán, thứ làm chúng bế tắc thực ra chỉ là sự kiên nhẫn của con người?
Tài liệu tham khảo:
https://annals.math.princeton.edu/1991/134-3/p03
https://www.erdosproblems.com/forum/thread/AI%20Contributions
https://arcprize.org/results/openai-gpt-5-6-sol
Bài viết này đến từ tài khoản công chúng WeChat "Tân Trí Nguyên", tác giả: ASI Khải Thị Lục; Biên tập: Nguyên Vũ
