Một giả thuyết trăm năm nữa lại đổ sập.
Nhà toán học Anthropic/Harvard Levent Alpöge hợp tác với Claude, trực tiếp bác bỏ giả thuyết Carathéodory vốn làm đau đầu giới toán học hơn 100 năm, đồng thời đập tan giả thuyết chỉ số Loewner.
Một file PDF đã lưu truyền trong cộng đồng toán học suốt một tuần. Giờ đây, nó chính thức được công bố.
Đây không phải lần đầu Alpöge và Claude hợp tác gây chấn động. Trong kỳ World Cup năm nay, ông đã đưa ra phản ví dụ cho giả thuyết Jacobi 3 chiều, chấn động giới toán học,
Giả thuyết trăm năm nói về điều gì
Trước hết nói về bản thân giả thuyết Carathéodory.
Năm 1924, nhà toán học Đức Hans Ludwig Hamburger trong hình học vi phân đã đề xuất giả thuyết Carathéodory, nhưng lại đặt tên theo người Hy Lạp, người thầy hướng dẫn luận án tiến sĩ của ông là Constantin Carathéodory.
Giả thuyết này khẳng định rằng, trong không gian Euclid ba chiều, bất kỳ mặt cong lồi, đóng và đủ trơn nào cũng nhất định tồn tại ít nhất hai điểm rốn.
Constantin Carathéodory
Giả thuyết rất đơn giản nhưng cực kỳ khó chứng minh: bất kỳ mặt cong lồi, đóng, đủ trơn nào, cũng có ít nhất hai "điểm rốn".
Điểm rốn, hiểu một cách thông tục là điểm mà trên mặt cong "độ cong các hướng hoàn toàn như nhau".
Trong hình học vi phân của mặt cong ba chiều, điểm rốn là điểm trên mặt cong có dạng cục bộ hình cầu, tại đó tất cả các độ cong pháp tuyến đều bằng nhau, do đó hai độ cong chính bằng nhau, và mỗi vectơ tiếp tuyến đều là hướng chính.
Mỗi điểm trên mặt cầu đều là điểm rốn – bất kể bạn sờ theo hướng nào, độ cong đều như nhau.
Carathéodory khẳng định: dù bạn nắn, biến dạng thế nào, miễn là mặt lồi này đủ trơn, bạn không thể khiến điểm rốn chỉ còn lại một. Ít nhất phải giữ lại hai cái.
Giả thuyết này trực giác có vẻ rất "đúng".
Mặt cầu có vô số điểm rốn, mặt ellipsoid có 2 điểm.
Một trăm năm qua, vô số nhà toán học đã thử, không ai có thể xây dựng được một vật thể lồi trơn chỉ có 1 điểm rốn.
Song song với nó là giả thuyết Loewner – chỉ số của điểm rốn cô lập không vượt quá 1. Hai giả thuyết hỗ trợ lẫn nhau, trăm năm qua như một đôi khóa sắt, khóa chặt cả một vùng lãnh thổ của hình học vi phân.
Giờ đây, khóa đã bị bẻ. Lần phát hiện này, nếu mặt lồi quá trơn (trong toán học gọi là C∞, khả vi vô hạn lần), Levent Alpöge đã tìm ra mặt lồi chỉ có một điểm rốn.
Một phản ví dụ, hai giả thuyết cùng đổ sập
Alpöge và John-Paul Smith đã đưa ra một cấu trúc cực kỳ cụ thể.
Họ định nghĩa một họ hàm g_k, trong đó g2 với k=2 đóng vai trò hàm hỗ trợ mặt cầu, vật thể lồi tương ứng tạo ra một điểm rốn với chỉ số 2 tại gốc tọa độ.
Lưu ý, chỉ số 2 đã trực tiếp vi phạm giới hạn trên là 1 của giả thuyết Loewner.
Quan trọng hơn, do sự tồn tại của thành phần suy giảm theo hàm mũ, g2 về mặt toán học đảm bảo tính trơn C∞ – nghĩa là, vật thể lồi này thỏa mãn mọi điều kiện trơn yêu cầu bởi giả thuyết Carathéodory.
Nhưng nó chỉ có 1 điểm rốn.
Giả thuyết Carathéodory yêu cầu ít nhất 2 điểm rốn, nhưng phản ví dụ đưa ra 1, giả thuyết này bị bác bỏ.
Giả thuyết chỉ số Loewner yêu cầu chỉ số điểm rốn là 1, nhưng lần này là 2, cũng bị bác bỏ.
Một phản ví dụ rõ ràng, có thể kiểm chứng, đã hạ gục hai giả thuyết tồn tại hơn trăm năm.
Trong toán học, bác bỏ một giả thuyết chỉ cần một phản ví dụ. Nhưng tìm ra phản ví dụ đó, có thể còn khó hơn chính việc chứng minh giả thuyết.
Trạng thái bình thường mới của giới toán học
Nhìn lại vài tháng qua:
Kỷ lục mới của Claude về Giả thuyết Riemann – nâng tỷ lệ cận dưới của điểm không từ 41.6% lên 67.2%, 37 năm con người chỉ đẩy được 0.8%.
OpenAI tập trung công bố 10 tiến bộ về toán và khoa học máy tính lý thuyết.
Alpöge liên tục dùng Claude bác bỏ nhiều giả thuyết kinh điển.
Chủ nhân huy chương Fields mới tuyên bố gia nhập OpenAI.
Xu hướng mới đang hiện ra.
AI không còn chỉ là máy tính của nhà toán học. Nó đang trở thành "công cụ bổ sung trực giác" của nhà toán học – nơi trực giác con người thất bại, dùng năng lực vét cạn và xây dựng để mở lối đi mới.
Giả thuyết trăm năm không bị đập vỡ bởi trí tuệ con người mạnh hơn. Nó bị đập vỡ bởi một mô hình hợp tác người-máy hoàn toàn mới.
Mô hình này sẽ tiếp tục đập vỡ thêm nhiều giả thuyết. Vấn đề chỉ là: giả thuyết nào sẽ là kẻ tiếp theo đổ sập.
Tài liệu tham khảo:
https://x.com/haider1/status/2090034966717677902
https://x.com/alpoge/status/2089971359921156203
https://en.wikipedia.org/wiki/Carath%C3%A9odory_conjecture
Bài viết đến từ tài khoản công chúng WeChat "Tân Trí Nguyên", tác giả: ASI Khải Thị Lục
