百年猜想,又倒了一个。
Anthropic/哈佛数学家Levent Alpöge联合Claude,直接证伪了困扰数学界超过100年的Carathéodory猜想,顺带击碎了Loewner指数猜想。
一份PDF在数学圈流传了整整一周。现在,它正式公开了。
这已经不是Alpöge第一次和Claude联手搞事。今年世界杯期间,他就用提出了3维雅可比猜想的反例,震动数学界,
百年猜想,说的是什么
先说Carathéodory猜想本身。
1924年,德国数学家Hans Ludwig Hamburger在微分几何中提出了Carathéodory猜想,但用希腊数学家、他的博士生导师Constantin Carathéodory命名。
该猜想指出,三维欧几里得空间中任何凸的、闭合的且足够光滑的曲面必定至少存在两个脐点。
Constantin Carathéodory
猜想非常简洁但极难证明:任意足够光滑的闭凸曲面,至少有两个「脐点」。
脐点,通俗理解就是曲面上「各方向弯曲程度完全一样」的点。
在三维曲面的微分几何中,脐点是曲面上局部呈球形的点,它们所有方向的法曲率都相等,因此两个主曲率相等,且每个切向量都是主方向。
球面上每个点都是脐点——无论你朝哪个方向摸,弧度都一样。
Carathéodory断言:不管你怎么捏、怎么变形,只要这个凸面足够光滑,你不可能让脐点只剩一个。至少得留两个。
这个猜想看起来直觉上很「对」。
球有无穷个脐点,椭球有2个。
一百年来,无数数学家试过,没人能构造出只有1个脐点的光滑凸体。
与此平行的是Loewner猜想——孤立脐点的指数不超过1。两个猜想互为支撑,百年来像一对铁锁,锁住了微分几何一整片领地。
现在,锁被撬开了。这次发现,凸面如果太光滑(数学上叫C∞,无限次可微),Levent Alpöge找到了只有一个脐点的凸面。
一个反例,两个猜想同时倒塌
Alpöge和John-Paul Smith给出了一个极其具体的构造。
他们定义了一族函数g_k,其中k=2时的g2作为球面支持函数,对应的凸体在原点处产生一个指数为2的脐点。
注意,指数2已经直接违反Loewner猜想的上限1。
更关键的是,由于指数衰减项的存在,g2在数学上保证了C∞光滑——也就是说,这个凸体满足Carathéodory猜想要求的一切光滑性条件。
但它只有1个脐点。
Carathéodory猜想要求至少2个脐点,但反例给出1个,该猜想被证伪。
Loewner指数猜想要求脐点的指数为1,但这次是2,也被证伪。
一个显式的、可验证的反例,干掉了两个存活超过百年的猜想。
数学里,证伪一个猜想只需要一个反例。但找到那个反例,可能比证明猜想本身还难。
数学界的新常态
回看过去几个月:
Claude黎曼猜想新纪录——将零点比例下限从41.6%提到67.2%,37年人类只推了0.8%。
OpenAI集中发布10项数学和理论计算机科学进展。
Alpöge连续用Claude证伪多个经典猜想。
新晋菲尔兹奖得主宣布加入OpenAI。
新的趋势正在浮现。
AI不再只是数学家的计算器。它正在变成数学家的「直觉补充器」——在人类直觉失灵的地方,用穷举和构造能力打开新路径。
百年猜想不是被更强的人类智慧击碎的。它是被一种全新的人机协作范式击碎的。
这种范式还会继续击碎更多猜想。问题只是:下一个倒下的,会是哪一个。
参考资料:
https://x.com/haider1/status/2090034966717677902
https://x.com/alpoge/status/2089971359921156203
https://en.wikipedia.org/wiki/Carath%C3%A9odory_conjecture
本文来自微信公众号“新智元”,作者:ASI启示录
