Beri AI sebuah dugaan matematika, hal pertama yang dipikirkannya adalah: Bagaimana cara membantahnya dan mencari contoh penyangkal!!
Penilaian yang terdengar agak 'memberontak' dalam dunia matematika ini, justru datang dari peraih Medali Fields 1998, matematikawan Inggris Timothy Gowers.
Baru-baru ini, Gowers yang sedang santai meletakkan pencapaian matematika AI yang paling menggemparkan beberapa bulan terakhir di atas meja, dan menemukan sesuatu yang sangat konsisten——
Dugaan Jacobian, mencari contoh penyangkal.
Dugaan Jarak Satuan Erdős, mencari contoh penyangkal.
Masalah Grup Non-sofic, mengkonstruksi contoh yang belum pernah ditemukan sebelumnya.
Masalah Bilangan Ramsey Multiwarna, intinya tetap mengkonstruksi objek baru yang memenuhi syarat.
Matematikawan manusia: Mengapa kesimpulan ini benar-benar berlaku?
AI: Tunggu dulu, kesimpulan ini...... beneran berlaku? (penuh semangat membantah.jpg)
Jadi, pertanyaannya adalah.
Kenapa AI-AI ini begitu suka menyelam ke tumpukan contoh penyangkal begitu bertemu dugaan matematika!?
Terobosan Matematika AI yang Paling Viral Belakangan Ini, Semuanya "Mencari Contoh Penyangkalan"
Pertama-tama, bicarakan satu hal yang mudah tertukar.
「Mencari contoh penyangkal」 yang disebut Gowers di sini dan 「pembuktian dengan kontradiksi」 yang dipelajari di masa sekolah, sebenarnya ada perbedaan yang cukup ...... banyak.
Pembuktian dengan kontradiksi yang kita pelajari di sekolah adalah teknik pembuktian: pertama asumsikan kesimpulan tidak berlaku, lalu lakukan deduksi sampai bertemu kontradiksi, sehingga membuktikan proposisi asli berlaku.
「Mencari contoh penyangkal」 yang disebut Gowers di sini lebih langsung——
Misalnya ada yang mengajukan: Semua objek yang memenuhi A, memiliki sifat B.
Maka AI hanya perlu mencari satu dari sekumpulan besar objek, yang jelas-jelas memenuhi A, tetapi justru tidak memiliki B.
Selesai.
Seluruh dugaan langsung tamat.
Gowers punya alasan untuk memperhatikan pola ini.
Karena, beberapa terobosan matematika AI yang paling menggemparkan belakangan ini, memang banyak yang dihasilkan dengan cara seperti ini.
Ambil contoh masalah Jarak Satuan Erdős yang dipecahkan oleh model internal OpenAI bulan lalu.
Selama hampir 80 tahun, dunia matematika membentuk penilaian pertumbuhan yang dipercaya luas di sekitarnya, dan banyak arah penelitian juga berusaha membuktikan penilaian ini.
Tapi begitu AI muncul, gayanya langsung berbalik 180 derajat.
AI tidak buru-buru mengikuti pemikiran manusia selama puluhan tahun untuk maju, malah menghabiskan banyak anggaran penalaran untuk memikirkan hal lain——
Apakah mungkin, langsung mencari contoh penyangkal untuk penilaian ini?
Akhirnya benar-benar ditemukan, model meminjam seperangkat alat yang berasal dari teori bilangan aljabar ke dalam geometri diskrit, menggunakan medan bilangan yang lebih kompleks untuk mengkonstruksi seluruh famili himpunan titik, sehingga jumlah pasangan jarak satuan bertumbuh dengan kecepatan yang di luar perkiraan sebelumnya.
Sebuah penilaian yang beredar selama puluhan tahun, langsung ditembus oleh sebuah konstruksi spesifik.
Yang lebih menarik, ketika matematikawan kemudian menelusuri jejak penalarannya, mereka menemukan bahwa AI memang menghabiskan banyak waktu untuk mencoba berbagai konstruksi dan mencari contoh penyangkal. (doge)
Belum lama setelah ini, Claude kembali membuktikan dengan kuat soal "AI sangat pandai meruntuhkan dugaan".
Matematikawan Levent Alpöge dengan bantuan Claude, menemukan contoh penyangkal dalam masalah terkait Dugaan Jacobian.
Tempat paling kontras dari jenis pencapaian seperti ini adalah di sini, AI pada akhirnya tidak perlu membentangkan pembuktian langsung yang panjang lebar, hanya perlu menyajikan objek khusus itu, lalu memeriksa satu per satu——
Premis, terpenuhi.
Kesimpulan, gagal.
Maka dugaan itu pada dasarnya bisa diakhiri.
Di sisi Gowers, ketika dia melihat kembali 10 hasil matematika yang baru-baru ini dirilis oleh OpenAI, dia juga menemukan kesan serupa.
Misalnya masalah "apakah semua grup adalah grup sofic" yang menggantung lama, cara terobosan yang diberikan AI adalah langsung mengkonstruksi sebuah grup non-sofic.
Lalu kemajuan dalam bilangan Ramsey multiwarna, meskipun akhirnya disajikan sebagai pembuktian batas bawah yang ketat, seluruh proses terobosannya masih memiliki rasa konstruksi yang sangat kuat:
Anda harus menemukan dulu objek kombinatorial yang cukup khusus dan rumit, baru pembuktian selanjutnya punya tempat berpijak.
Maka muncul sebuah pola yang semakin jelas.
Masalah matematika yang saat ini paling mudah membuat AI berprestasi besar, sebenarnya banyak yang bisa diringkas menjadi satu kalimat yang sangat ramah mesin——
"Apakah ada sesuatu seperti ini?"
Jika jawabannya memang ada, maka strategi andalan model mulai berperan.
Mencari dengan gila-gilaan, meminjam alat lintas bidang, mengombinasikan teknik yang sudah ada, mencoba berbagai konstruksi berulang kali, lalu menarik keluar sesuatu itu dari ruang objek matematika yang sangat besar.
Jadi, yang benar-benar dikuasai AI bukan hanya pembuktian dengan kontradiksi seperti yang dipahami secara harfiah.
Lebih tepatnya, AI saat ini sangat ahli dalam satu jenis tugas matematika: dalam ruang yang begitu besar sampai manusia mustahil menyelidiki seluruhnya, menemukan objek spesifik yang memang ada, tetapi belum pernah ditemukan sebelumnya.
Mengapa AI Suka Mencari Contoh Penyangkalan dalam Soal Seperti Ini?
Pertanyaannya, lalu, kenapa AI justru antusias membantah dugaan matematika???
Penjelasan yang diberikan Gowers sebenarnya cukup sederhana, setidaknya model besar saat ini memiliki dua keunggulan yang terlihat jelas.
Pertama, tahu banyak.(doge)
Jika titik terobosan sebuah soal tersembunyi dalam suatu alat matematika yang sudah ada, bidang terkait, atau kombinasi teknik yang jarang digabungkan manusia, model besar punya peluang besar langsung mengeluarkannya dari gudang pengetahuan mereka.
Masalah jarak satuan adalah contoh yang sangat tipikal.
Soal ini lama berada dalam konteks geometri diskrit dan matematika kombinatorial, sedangkan terobosan yang ditemukan AI meminjam alat dari teori bilangan aljabar.
Bagi manusia, lompatan lintas bidang seperti ini kadang membutuhkan peneliti yang kebetulan menguasai kedua bidang.
Bagi model, kedua bidang sudah ada dalam konteks dan pengetahuan pelatihan, biaya kombinasi secara alami lebih rendah...
Kedua, mampu mencoba.
10 hasil matematika dan ilmu komputer teoretis yang baru dirilis OpenAI, menunjukkan bahwa semua Token yang dihabiskan AI untuk mencari contoh penyangkal matematika, jika dikonversi dengan harga API hanya bernilai "ribuan" dolar AS.
Dengan kata lain, banyak jalur yang bagi matematikawan manusia memiliki tingkat keberhasilan terlalu rendah, tidak layak dicoba selama berbulan-bulan, AI bisa mencoba sebebas-bebasnya!!
Gowers dalam tulisannya juga secara khusus membahas bagaimana matematikawan biasanya mencari contoh, mencari contoh penyangkal——
Yang paling sederhana, pertama uji objek klasik "warisan" satu per satu.
Misalnya Anda mengajukan dugaan tentang fungsi Boolean, pertama uji dengan beberapa sampel tes warisan:
Fungsi diktator, fungsi mayoritas, fungsi paritas, fungsi tribes... Jika semua ini lolos, baru bahas yang lain.
Kedua adalah merakit, mulai dari objek dasar, ambil hasil kali, ambil hasil bagi, ambil limit, ganti cara konstruksi, lalu lihat apakah bisa mendapatkan sifat yang diinginkan.
Ada juga metode acak, konstruksi eksplisit terlalu sulit, ambil objek secara acak dari suatu distribusi, buktikan dengan probabilitas tinggi ia memenuhi kondisi Anda.
Lalu ada metode pendekatan bertahap, pertama tulis kandidat jawaban yang kira-kira tidak benar, bukan karena merasa bisa berhasil, tetapi ingin mengamati di mana letak kesalahannya. Perbaiki satu cacat, dapatkan versi kedua; perbaiki lagi, dapatkan versi ketiga...
Permainan yang banyak mencoba objek, mengganti konstruksi, pencarian acak seperti di depan, sangat cocok untuk model besar, basis pengetahuan cukup besar, kecepatan cukup cepat, biaya kegagalan rendah, benar-benar mungkin menabrak jawaban dengan percobaan masif.
Tapi semakin ke belakang, semakin menguji kemampuan yang sulit ditulis ke dalam rumus: Di tengah jalan, bisakah Anda mencium apakah jalan ini berprospek atau tidak.
Gowers menyebutnya 「hidung」 matematikawan.
Seorang peneliti yang benar-benar hebat, bukan tidak pernah salah jalan, tetapi mampu memotong 99% cabang begitu pohon pencarian baru tumbuh beberapa percabangan, hanya mempertahankan beberapa yang paling layak diinvestasikan.
Justru hal ini, saat ini AI sering melakukannya dengan agak lucu, misalnya Gowers saat berdiskusi soal terbuka dengan AI, sering mengalami pengalaman canggung——
AI akan mengusulkan rencana yang terdengar menjanjikan, tetapi setelah dipikirkan tidak begitu bisa diandalkan, AI juga suka berkata: Meskipun belum memecahkan soal asli, saya telah mempersempit masalah menjadi submasalah yang lebih tepat~
Dengar pertama kali, memang sangat menarik ya.
Tapi kalau yang kelima masih berhenti di submasalah yang lebih tepat versi berbeda, matematikawan manusia mungkin mulai ragu: Apakah ini sedang mendekati jawaban, atau hanya mendeskripsikan tersesat dengan semakin elegan?
Ini juga alasan Gowers tidak mendewakan AI.
Dia tidak menganggap manusia akan selamanya mempertahankan keunggulan ini, sebaliknya, dia memperkirakan dengan jelas model akan terus berkembang cepat, bahkan dalam satu dua tahun ke depan mungkin sudah memiliki hidung yang lebih kuat.
Tapi saat ini, keunggulan AI masih lebih seperti prioritas luas: Secara luas memanggil pengetahuan yang ada, menjelajahi kemungkinan jalur secara luas, menemukan solusi dalam percobaan masif.
Terakhir yang lebih menarik, Gowers menetapkan standar verifikasi yang cukup romantis untuk AI yang benar-benar memasuki tahap penciptaan matematika tingkat tinggi——
Solusi yang diberikan AI suatu hari nanti, tidak hanya memecahkan soal, tetapi juga muncul dengan metode baru yang belum pernah terpikirkan siapa pun.
Lebih hebatnya, metode ini ketika dilihat kembali sangat masuk akal, bahkan bisa diambil oleh matematikawan lain untuk menghasilkan serangkaian hasil baru.
Saat mencapai langkah itu, hal yang diselesaikan AI sudah jauh melampaui menarik jawaban dari ruang pencarian yang besar.
Identitas AI di dunia matematika, mungkin benar-benar berubah.
Referensi:
[1]https://gowers.wordpress.com/2026/08/12/what-sort-of-maths-are-llms-good-at/
Artikel ini dari akun WeChat publik "Qubit", penulis: Mengikuti Teknologi Terdepan
