AI telah menantang masalah matematika baru, kali ini adalah 'Riemann Hypothesis'.
Sebuah hipotesis matematika yang lahir pada tahun 1859, belum terpecahkan selama 167 tahun, dengan hadiah uang sebesar 1 juta dolar AS. Belakangan ini, seseorang di dalam Anthropic memberikan tugas yang hampir "tidak masuk akal" kepada versi penelitian Claude yang belum dirilis:
Coba serius Riemann Hypothesis.

Jarred Sumner, salah satu pendiri Bun, yang bergabung dengan Anthropic pada Desember tahun lalu
Claude benar-benar mencoba dengan serius. Ia mengusulkan 650 ide secara berurutan, semuanya gagal. Kemudian mengorganisir ulang sekitar 60 sub-Agent Claude, bekerja terus-menerus selama satu setengah hari, menjalankan 2400 perintah Shell, menulis ratusan skrip Python, dan melakukan ribuan uji numerik. Pada akhirnya, Riemann Hypothesis masih belum berhasil dipecahkan.
Namun dalam upaya yang gagal ini, Claude menemukan hasil lain. Anthropic mengungkapkan bahwa versi penelitian Claude yang belum dirilis ini berhasil meningkatkan batas bawah proporsi nol fungsi Riemann ζ yang diketahui setidaknya berada pada garis kritis, dari 41.6% menjadi 67.2%.

Dengan kata lain, sebelumnya manusia dapat membuktikan bahwa setidaknya 41.6% dari nol terkait sesuai dengan posisi yang diprediksi oleh Riemann Hypothesis; hasil yang diberikan oleh Claude meningkatkan proporsi yang dapat dibuktikan ini menjadi 67.2%.
Partner dari perusahaan modal ventura Menlo Ventures, peneliti Deedy, mengatakan, "Hasil Claude kali ini sungguh luar biasa, mungkin merupakan kemajuan paling signifikan dalam bidang teori bilangan analitis sejak terobosan interval bilangan prima terbatas pada 2013. Ia berhasil meningkatkan proporsi nol fungsi Riemann ζ yang dapat dibuktikan secara ketat berada pada garis kritis sebanyak 25.6 poin persentase. Dalam 37 tahun sebelumnya, para matematikawan hanya berhasil meningkatkan angka ini sebanyak 0.8 poin persentase."

Dua matematikawan Anthropic kemudian mempelajari dan memverifikasi makalah Claude. Claude juga memberikan bukti formalisasi yang sesuai dalam Lean. Ahli teori bilangan Brian Conrey dan Dan Goldston juga meninjau makalah tersebut dalam waktu yang relatif singkat.
Anthropic menekankan bahwa metode ini diperkirakan tidak dapat langsung mengarah pada pembuktian akhir Riemann Hypothesis. Namun, hasil ini tetap memberikan sinyal yang layak diperhatikan: Kemampuan matematika model mutakhir mulai menyentuh masalah penelitian yang benar-benar belum memiliki jawaban yang tersedia.
Riemann Hypothesis yang Belum Terpecahkan Selama 167 Tahun
Alasan pentingnya Riemann Hypothesis terkait dengan bilangan prima. Fungsi Riemann ζ memiliki hubungan mendalam dengan distribusi bilangan prima. Pada 1859, matematikawan Jerman Bernhard Riemann mengajukan hipotesis: semua bagian real dari "nol nontrivial" fungsi ζ harus sama dengan 1/2.
Pada bidang kompleks, ini berarti semua nol tersebut terletak pada satu garis vertikal, yaitu garis kritis yang terkenal.
Masalah yang tampaknya abstrak ini memiliki dampak yang sangat luas. Banyak kesimpulan matematika tentang distribusi bilangan prima dapat diperoleh hasil yang lebih akurat dengan asumsi Riemann Hypothesis benar. Oleh karena itu, ia menjadi salah satu dari tujuh "Masalah Milenium" Institut Matematika Clay, di mana bukti lengkap atau penyangkalan lengkapnya dapat memenangkan hadiah 1 juta dolar AS.
Selama lebih dari satu abad, tidak ada yang dapat membuktikan bahwa semua nol nontrivial terletak pada garis kritis, tetapi matematikawan dapat membuktikan bahwa sebagian pasti berada di sana.
Jadi, pertanyaan yang relatif realistis muncul: Berapa proporsi nol minimal yang dapat kita buktikan terletak pada garis kritis? Setelah puluhan tahun berkembang, batas bawah proporsi ini perlahan-lahan meningkat menjadi sekitar 41.6%.
Angka inilah yang berhasil ditingkatkan oleh Claude kali ini.
Dari 41.6% ke 67.2%
Dasar yang diandalkan Claude untuk mendapatkan hasil ini tidak muncul begitu saja.
Pada 1973, matematikawan Hugh Montgomery mempelajari distribusi nol fungsi ζ dan memperkenalkan serangkaian metode penting. Namun, beberapa analisisnya bergantung pada asumsi bahwa Riemann Hypothesis benar. Dalam beberapa tahun terakhir, serangkaian karya matematikawan telah mengembangkan lebih lanjut teknik terkait, memungkinkan beberapa metode digunakan tanpa terlebih dahulu mengasumsikan Riemann Hypothesis benar.
Ini berarti bahwa metode-metode tersebut memiliki kesempatan untuk membantu mempelajari "berapa banyak nol yang sebenarnya terletak pada garis kritis". Claude, berdasarkan karya-karya ini, menggabungkannya dengan penelitian terkait yang diterbitkan Enrico Bombieri sekitar tahun 2000, dan menemukan cara kombinasi baru.
Hasil akhirnya adalah: setidaknya 67.2% dari nol terkait terletak pada garis kritis. Dibandingkan dengan batas bawah yang diketahui sebelumnya sebesar 41.6%, ini meningkat 25.6 poin persentase.
Dari segi teknis, Claude membangun ruang fungsi yang sesuai dan menggunakan bentuk kuadrat yang diinduksi oleh Weil untuk memetakan nol yang terletak pada garis kritis dan nol yang menyimpang dari garis kritis ke arah definit positif dan negatif. Kemudian, ia menggunakan hubungan antara pangkat bentuk kuadrat dengan informasi momen orde pertama dan kedua untuk membangun ketidaksetaraan.
Matematikawan Anthropic percaya bahwa salah satu titik kunci adalah bahwa Claude tidak menangani bagian definit positif dan negatif secara terpisah, melainkan menganalisis seluruh ruang dalam satu kerangka kerja yang sama, sambil memungkinkan bentuk kuadrat memiliki struktur non-diagonal. Menggabungkan hasil yang telah dibangun oleh peneliti teori bilangan sebelumnya, langkah ini akhirnya menghasilkan batas bawah 67.2%.
Di sini perlu penjelasan khusus: Anthropic saat ini tidak mengklaim bahwa teknologi ini dapat terus mendorong hingga 100%, apalagi mengklaim bahwa Claude hanya tinggal 32.8% lagi untuk membuktikan Riemann Hypothesis.
67.2% adalah peningkatan batas bawah pada masalah terkait, dan masih ada jarak teoretis yang besar antara itu dengan pembuktian lengkap Riemann Hypothesis.
31 Juta Output Token, 60 Sub-Agent, Bagaimana Claude Menemukannya?
Claude Menemukannya?
Cara Claude memecahkan masalah ini juga layak diperhatikan dalam eksperimen ini. Seluruh hasil diperoleh dalam dua sesi Claude Code, dengan total konsumsi sekitar 31 juta output token.
Awalnya, permintaan yang diberikan Jarred Sumner kepada Claude sangat terbuka: coba serius Riemann Hypothesis.
Sumner sendiri bukan seorang matematikawan, dan ia tidak menentukan rute matematika tertentu untuk Claude.
Pada putaran pertama, Claude menghasilkan dan mencoba sekitar 650 ide. Semuanya gagal.
Sumner kemudian menyuruhnya untuk terus mencoba. Putaran kedua berlangsung sekitar satu setengah hari.
Claude mengorganisir sekitar 60 sub-Agent, membagi masalah menjadi beberapa arah untuk dieksplorasi secara paralel. Agent-agen ini menjalankan sekitar 2400 perintah Shell, menulis ratusan skrip Python, dan melakukan ribuan pemeriksaan numerik terhadap nol fungsi ζ yang diketahui.
Sub-Agent yang berbeda juga saling meninjau hasil.
Menurut Anthropic, Sumner hampir tidak memberikan panduan matematika pada tahap ini. Hal utama yang dilakukannya adalah terus memberi tahu Claude "lanjutkan", "coba lagi", "percaya pada diri sendiri". Anthropic bahkan menyebutkan bahwa Claude awalnya cukup meragukan kemampuannya untuk membuat kemajuan nyata dalam masalah terbuka yang terkenal seperti ini. Hanya setelah eksplorasi berkelanjutan, batas bawah baru ini perlahan-lahan muncul.
Setelah menemukan hasilnya, Claude memulai putaran verifikasi diri. Beberapa sub-Agent khusus bertanggung jawab memeriksa pembuktian, beberapa mencari contoh penyangkalan; Claude juga mengunduh 54 makalah arXiv, memeriksa apakah hasil serupa telah diperoleh oleh matematikawan lain.
Kemudian, ia meminta Agent independen untuk menurunkan kembali hasilnya dari awal. Setelah memastikan tidak ada masalah yang jelas, Claude secara aktif menyarankan untuk menyusun hasilnya menjadi makalah dan dengan jelas mengusulkan: harus mencari ahli teori bilangan yang sesungguhnya untuk verifikasi manual.
Matematikawan internal Anthropic Levent Alpöge dan Ralph Furman kemudian mulai memeriksa makalah, menganalisis hubungannya dengan literatur yang ada. Sementara itu, Claude juga bekerja sama dengan karyawan Anthropic Eric Easley untuk memformalkan hasil kunci menjadi bukti Lean. Hasil formalisasi ini telah diperiksa oleh alat verifikasi standar Lean Comparator.
Anthropic juga mengundang matematikawan Brian Conrey dan Dan Goldston, yang meneliti fungsi Riemann ζ, untuk meninjau makalah tersebut. Oleh karena itu, saat ini pernyataan yang lebih akurat adalah: Matematikawan internal Anthropic telah mempelajari dan memverifikasi hasilnya, dan menyelesaikan bukti formalisasi yang dapat diperiksa mesin, sementara dua ahli eksternal di bidangnya telah meninjau makalah. Ini masih merupakan dua tahap yang berbeda dengan tinjauan sejawat akademik tradisional yang telah selesai dan membentuk konsensus komunitas matematika.
Lebih banyak tautan:
Makalah Claude: https://www-cdn.anthropic.com/564f962e60643842f5fcb4a17c9dbc8f608f1c37.pdf
Alamat proyek Claude: https://github.com/anthropics/zeta-23-lean
Tautan referensi:
https://x.com/AnthropicAI/status/2086867246073401655
https://www.anthropic.com/research/riemann-zeta
https://x.com/jarredsumner/status/2086869681785500011
Artikel ini berasal dari akun WeChat publik "机器之心", penulis: 机器之心 yang berfokus pada matematika AI






