La IA resolvió un antiguo problema matemático pendiente durante 80 años: la conjetura de la distancia unitaria de Erdős en el plano.
Una tarde de mayo, cuando Timothy Gowers escuchó esta noticia por primera vez, pensó que la IA había dado una demostración.
De ser cierto, "los matemáticos podrían estar pronto fuera de juego".
Pasó toda una noche reajustando su cosmovisión.
A la mañana siguiente, llegó un correo de aclaración: la IA no había demostrado la conjetura, la había refutado.
Gowers, en cambio, "sintió alivio".
¿Por qué que la IA encontrara un contraejemplo le hizo sentir más tranquilo que si hubiera demostrado un teorema?
El 12 de agosto, una entrada en su blog dio la respuesta.
Todo empezó el 1 de agosto.
Ese día, OpenAI lanzó de golpe diez avances en matemáticas y ciencias de la computación teórica.
En palabras de la empresa: cada uno de ellos resolvía un problema pendiente desde hace mucho tiempo, o suponía un progreso sustancial en un problema relacionado.
Estos resultados procedían de Astra, una versión interna aún no publicada del modelo.
En esos días, en las redes sociales solo hubo una reacción: esta vez es realmente diferente.
Como dijo Simon Willison, los matemáticos en línea estaban viviendo colectivamente un "momento Deep Blue".
Unos días antes, el matemático Kirwin Hampshire ya había escrito un "Noche oscura de las matemáticas". Lo que le impulsó entonces fueron resultados previos de menor peso; describió estar sumido en una profunda crisis existencial.
Gowers reconoció primero que esos diez resultados eran extraordinariamente impresionantes, y luego planteó una pregunta:
Si los grandes modelos son ya superiores a todos los humanos en todos los aspectos de las matemáticas, dada su ventaja de velocidad, los resultados deberían estar brotando como un torrente.
¿Por qué no ha llegado ese torrente?
Dos matemáticos escriben dos artículos a partir de estos resultados
En esos 11 días, siguiendo a estos diez resultados de OpenAI, aparecieron dos artículos en arXiv.
El 3 de agosto, Francesco Fournier-Facio, especialista en teoría de grupos de Cambridge, publicó uno.
Tomó el criterio crucial de la demostración de OpenAI, eludió el álgebra de Leavitt usada originalmente, partió de cero y construyó una versión que el método original no podía producir: un grupo no sofic sin torsión.
El 11 de agosto, Raphael Steiner modificó la construcción recursiva de OpenAI para los números de Ramsey multicolores, generalizándola a todos los ciclos impares fijos.
El hecho de que alguien pudiera escribir artículos continuando el trabajo de Astra indica que este proporciona un método que puede generar nuevo conocimiento.
Fournier-Facio también dijo que existen innumerables direcciones en las que podría avanzarse el resultado de Kun–Thom, muchas de las cuales simplemente no son válidas, y muchas otras que, incluso si lo fueran, no serían útiles.
La dirección que OpenAI eligió probar, probablemente cualquier experto familiarizado con el área podría demostrarla. Lo difícil era pensar, entre innumerables opciones, en probar precisamente esa.
Fournier-Facio juzgó en su artículo que la novedad de OpenAI radica en haber enunciado esa proposición, no en la técnica de demostración.
Ofreció una analogía vívida:
La IA no está limitada por el tiempo ni los recursos, por lo que puede seguir arrojando cosas contra la pared para ver cuál se pega.
Contraejemplos y teoremas no son en absoluto dos habilidades distintas
En la intuición del matemático, buscar contraejemplos es cuestión de suerte.
Basta con encontrar un caso particular que perfore la conjetura, y la proposición cae. Demostrar un teorema es trabajo duro: hay que garantizar que no hay excepciones y además tener esos destellos de perspicacia que solo surgen tras mucho pensamiento.
Por eso, que la IA sea buena encontrando contraejemplos es aceptable. Que sea buena demostrando teoremas es lo que realmente supondría un cambio de era.
Pero Gowers sostiene que esta línea divisoria no se sostiene. Buscar contraejemplos y demostrar teoremas no son en absoluto dos habilidades distintas.
Primero admite que los resultados más significativos de la IA hasta ahora se concentran efectivamente en contraejemplos.
La conjetura de la distancia unitaria, la conjetura del jacobiano, los grupos no sofic, los números de Ramsey multicolores... todo parece serlo.
Pero los grandes modelos también pueden demostrar proposiciones universales difíciles, solo que esos teoremas aún no han alcanzado el peso de estos contraejemplos.
Luego, presenta dos resultados.
Vinográdov demostró en 1937: Todo número entero suficientemente grande puede expresarse como suma de tres números primos.
Gluskin demostró en 1981: En cualquier dimensión, existen dos "formas" de espacios extremadamente distintas.
Si se traducen estas afirmaciones al formato que usan los matemáticos en sus artículos, su estructura es casi idéntica. Sin embargo, nadie diría que Vinográdov encontró un contraejemplo, ni que Gluskin demostró un teorema.
La diferencia radica en dónde recae el paso difícil.
Todo el mérito de Vinográdov está en lograr que tres números primos sumen exactamente el número especificado. En el caso de Gluskin, construir dos espacios de una dimensión dada no es difícil en absoluto; lo difícil es hacer que estén suficientemente alejados.
La misma estructura, con la dificultad en puntos distintos, convierte a uno en teorema y al otro en ejemplo.
Hay una capa aún más sutil. La palabra "contraejemplo" lleva una carga psicológica. Solo merece ese nombre aquello que refuta una proposición que la gente tenía razones para creer cierta.
El grupo no sofic no cuenta. Según Gowers y Fournier-Facio, ya existían en la literatura varias ideas de construcción, y pocos expertos creían realmente que todos los grupos fueran sóficos. Por tanto, más exactamente, OpenAI proporcionó la primera instancia de un grupo no sofic.
Gowers tiene más autoridad para hablar del resultado de Ramsey multicolor. De joven, estudió una forma equivalente, y la dirección en la que trabajó entonces fue precisamente la que luego se demostró correcta. Para él personalmente, es un ejemplo que confirma expectativas, no un contraejemplo.
El mismo resultado es un contraejemplo para quien creía en la conjetura, y solo un ejemplo para él.
Esto muestra que la línea divisoria sigue a la persona, no a las matemáticas.
Dado que contraejemplo y teorema son inseparables, la fortaleza o debilidad de la IA en matemáticas no puede dividirse por tipo de proposición.
¿Entonces, por qué debe dividirse?
Ocho métodos para buscar ejemplos, la IA solo es buena en cuatro
La división no está en el tipo de proposición, sino en cómo se busca.
Gowers enumera ocho estrategias habituales de los matemáticos para buscar ejemplos:
Probar uno por uno los ejemplos estándar que se tienen a mano.
Ensamblar ejemplos básicos.
Dejar espacios en blanco y completar condiciones después.
Demostrar por contradicción que es imposible que exista.
Corregir iterativamente la suposición de la versión anterior.
Construir paso a paso según las condiciones.
Seleccionar uno al azar.
Tomar un ejemplo suficientemente general.
Juzga que los grandes modelos serán muy fuertes en cuatro de ellas: probar ejemplos existentes, construir paso a paso, seleccionar al azar, tomar ejemplos generales.
Estas cuatro comparten patrones maduros, alta densidad de instancias en los datos de entrenamiento y bajo costo del fracaso. El modelo solo tiene que probar uno tras otro; tarde o temprano dará con uno.
Las otras tres son diferentes. Dejar espacios en blanco y completar después, demostrar por contradicción, corregir iterativamente: estas tres exigen evaluar repetidamente a mitad de camino lo mismo: ¿Vale la pena seguir por este camino?
La explicación de Gowers es fácil de entender.
Los grandes modelos tienen dos ventajas indudables: un conocimiento tan amplio que cubre casi todos los argumentos estándar, y velocidad, pudiendo fracasar innumerables veces antes de encontrar una solución.
Estas dos juntas conforman un estilo completamente distinto al humano: cuanto mayor sea el componente de suerte del problema, más ventaja tiene.
El terreno que los humanos aún pueden defender son aquellos problemas con ramificaciones especialmente numerosas y profundas.
Los matemáticos lo llaman árbol de búsqueda.
Cada paso hacia abajo se bifurca en decenas de ramas, que se ensanchan más y más. No puedes recorrerlas todas; debes juzgar a mitad de camino cuáles ni siquiera merece la pena explorar y podarlas directamente.
Esta acción se llama poda. Sin ella, solo con potencia de cálculo, no llegarías al fondo ni en todo el día.
Un indicio proviene de la reacción colectiva de los expertos.
Gowers nota que la opinión es altamente consistente: al principio impacta que el problema se haya resuelto, pero al revisar detenidamente se ve que el método en realidad no es tan novedoso; un experto adecuado, con una pista, también podría haberlo encontrado.
Esto no es menospreciar el descubrimiento de la IA, sino darle un retrato más preciso:
Su ventaja no radica en ser más lista que el hombre, sino en que "puede permitirse perder".
En el mismo problema, el hombre solo puede probar unos pocos caminos; ella puede probar cientos.
¿Por qué los grandes modelos no desarrollan este olfato?
La primera razón: en los datos de entrenamiento no hay tal lección.
Las demostraciones publicadas son todas "productos limpios": qué direcciones probó el descubridor, en qué paso pareció incorrecto, por qué dio la vuelta... todo ha sido borrado.
El modelo ve la conclusión, no el proceso.
En realidad, a los humanos tampoco se les enseña. La diferencia es que los matemáticos desarrollan esta habilidad atascándose, equivocándose y cambiando de rumbo en su propio proceso; el modelo solo puede aprender de productos ya elaborados por otros.
La segunda razón es más contraintuitiva: la velocidad misma es un obstáculo.
Los humanos deben podar con decisión porque una vida solo da para unos pocos caminos.
Los grandes modelos tienen velocidad y conocimiento, y pueden soportar búsquedas ineficientes que los humanos no pueden permitirse. Como no les falta, no tienen la presión imperiosa de podar.
Gowers afirma directamente: el éxito actual de los grandes modelos quizás emplee métodos que a los humanos les parecen extremadamente ineficientes, solo que las ramificaciones aún no son tantas como para abrumarlos.
Tercero, esto es difícil de experimentar. Una idea que parece solo puede venir de la reflexión profunda, también podría ser simplemente recuperar la reflexión profunda de algún matemático humano de la literatura.
La propia experiencia de uso de Gowers también está escrita en el extenso artículo.
Al discutir problemas abiertos con GPT-4.5 (nota: el texto original dice 5.6 Pro, se mantiene la versión referida en el texto traducido, aunque la numeración puede variar), a menudo obtienes soluciones que suenan prometedoras pero que al pensarlas detenidamente no parecen viables. Y a menudo recibe una frase final así: No pude responder tu pregunta, pero la reduje a un problema más estrecho y preciso.
Tras cinco veces seguidas, no se ve ningún progreso.
Curiosamente, otro ganador de la Medalla Fields también habla de lo mismo.
El 24 de julio, Terence Tao dio una conferencia pública en el Congreso Internacional de Matemáticos, titulada "Matemáticas en la era de la IA".
Se quejó de que leer matemáticas generadas por IA es una tortura: la jerarquía está completamente mal, pueden gastar tres páginas demostrando un lema obvio y luego pasar por alto en tres líneas el paso realmente interesante.
Las personas no escriben demostraciones así. Lo simple se menciona de pasada; lo difícil se detiene, se organiza con cuidado, intentando hacer el menor trabajo innecesario. El lector, a través de este ritmo, puede deducir dónde está la dificultad.
Tao le puso un nombre: fricción natural.
Captura de pantalla de la conferencia de Tao en el ICM 2026: las demostraciones escritas por humanos dejan "fricción natural" en las partes difíciles, alertando al lector para que vaya más despacio; las demostraciones excesivamente pulidas por la IA la eliminan también.
La IA pasa a toda velocidad sobre lo difícil y lo fácil, haciendo que todo parezca igual.
Contó su propio ejemplo.
De posgrado, al estudiar a fondo el artículo de Bourgain de 1991, los márgenes aún conservan sus anotaciones de entonces: Odio a Jean Bourgain.
Tras esforzarse por entenderlo, acabó comprendiendo su forma de pensar y luego prefirió leer sus artículos.
Dijo que si esa demostración hubiera pasado por múltiples capas de pulido por IA, quizás no habría obtenido ese entrenamiento.
La información de "qué paso es difícil" nunca se ha registrado formalmente en la tradición de escritura matemática humana, por lo que el modelo no puede aprenderlo.
Y lo que escribe la IA, además, allana ese rastro que queda.
Esto se convierte en un círculo vicioso: el modelo no aprende capacidad de juicio, y lo que escribe hace que la siguiente generación de modelos aprenda aún menos.
La solución que propone Gowers recae en la función de recompensa del modelo.
Durante el entrenamiento, no se puede recompensar solo cuando se obtiene la solución; también hay que penalizar dos cosas: adentrarse demasiado en callejones sin salida, y buscar directamente respuestas preexistentes en la literatura.
Recompensar solo el resultado solo dará resultados sin proceso.
Esto es válido para el entrenamiento, y también para la comunidad matemática.
¿Qué se considera haberlo superado?
Gowers ofrece una vara de medir difícil de engañar.
Pone el ejemplo del problema del cap-set en 2016.
Este problema pregunta: En una cuadrícula de alta dimensión ternaria, ¿cuál es el mayor número de puntos que se pueden seleccionar de modo que tres cualesquiera no formen una progresión aritmética? Durante décadas, el límite solo se redujo poquito a poquito.
Ese año, apareció una nueva solución que dejó muy atrás el mejor límite anterior, usando un enfoque diferente a cualquiera que él hubiera imaginado.
Pero en retrospectiva, el método claramente debería haber sido así, y sin embargo nadie lo había pensado antes.
Inmediatamente después, mucha gente se lanzó a intentar entender qué más podía hacer esta nueva técnica.
Un método verdaderamente bueno no solo resuelve el problema actual; hace que un grupo de personas cambie inmediatamente su trabajo.
El día que el modelo produzca por sí solo algo de igual peso, entonces considerará que se ha cruzado ese umbral.
Este artículo proviene del WeChat Official Account "新智元" (Nueva Era de la Inteligencia Artificial), autor: Crónica de la ASI.
