Sebuah teka-teki abad yang tergantung selama 78 tahun penuh, dipecahkan hanya dalam tiga hari!
Masalahnya adalah apakah struktur kompleks ada di bola berdimensi enam atau tidak, pertanyaan ini telah ada sejak 1948 hingga hari ini, dan sekarang jawabannya adalah ada.
Yang memberikan jawaban ini adalah ahli matematika Harvard Levent Alpöge dan Claude.
Yang lebih mengesankan adalah cara mereka memecahkannya.
Mereka menghindari jalan lama yang telah ditempuh puluhan tahun oleh semua orang, langsung membuat objek ini, lalu menunjuknya dan menyatakan, inilah struktur kompleks di S6.
Dan ketika Alpöge mengumumkannya di X, kalimat pertamanya terdengar seperti mengumumkan kelahiran sebuah kehidupan baru—
Selamat datang objek geometri baru yang indah ini ke dunia.
Tujuh Puluh Tahun Lebih, Tergantung Hanya Pada Satu Bola Ini
Dari semua bola, hanya ada dua yang memenuhi syarat untuk membahas struktur kompleks, S2 dan S6, dimensi lainnya sudah lama dieliminasi.
S2 tidak mengejutkan, ia sendiri adalah batu bata paling dasar dalam fondasi geometri kompleks.
Jadi selama tujuh puluh tahun lebih, semua orang menatap tajam pada satu-satunya harapan ini, S6.
Ada yang mengklaim keberadaannya, ada yang bersumpah pasti tidak ada, tetapi kedua pihak semuanya terjatuh.
Misalnya, salah satu matematikawan terhebat zaman ini, pemenang Fields Medal Michael Francis Atiyah, pada tahun 2016 mengklaim telah menyelesaikannya, tetapi argumennya dinyatakan memiliki kelemahan.
Master matematika keturunan Tionghoa, Chern Shing-Shen, juga pernah meneliti masalah ini di masa tuanya.
Yang dikeluarkan Alpöge kali ini adalah sebuah dokumen argumentasi setebal 108 halaman.
Setiap matriks, setiap koordinat, setiap cara perekatan yang digunakan dalam konstruksi ini, semuanya ditulisnya hitam di atas putih.
Matematikawan Qiaochu Yuan khusus menggunakan GPT-5.6 Sol untuk mencari kelemahan, setelah melihat selama 6 menit, tidak menemukan celah sama sekali.
Tidak menyerah dan mengulas lagi selama 15 menit, tetap tidak bisa menemukan kesalahan, malah memahami logika argumentasi ini lebih dalam.
Kesimpulan yang diberikan Sol adalah, jika 108 halaman ini akhirnya berdiri kokoh, ini bisa dikatakan sebagai hasil AI matematika terpenting sejauh ini.
Jika pekerjaan ini murni dilakukan oleh manusia, kemungkinan besar akan memenangkan Fields Medal, meskipun bukan karena tingkat kesulitan atau ketenarannya, setidaknya karena pengaruhnya.
Tiga Bilangan Bulat, Menghakimi Hidup-Matinya Masalah Ini
Lalu pertanyaannya, bagaimana objek baru ini dibangun?
Langkah pertama, siapkan dasarnya dulu.
Ambil sesuatu yang disebut grup segitiga (3,4,∞) untuk melipat setengah bidang atas, bentuk yang tersisa setelah dilipat, secara intuitif adalah sebuah bola.
Hanya saja di bola ini terdapat tiga titik khusus yang dipaku, satu berorde 3, satu berorde 4, dan satu lagi titik puncak, posisinya masing-masing di t = 0, t = 1, dan t = ∞.
Alpöge tidak menyembunyikan kesukaannya, mengatakan dengan tegas bahwa grup segitiga dan keluarga torus yang tergantung padanya adalah bagian yang paling dia banggakan.
Langkah kedua, muat torus ke dasar.
Selain ketiga titik khusus itu, setiap titik di dasar digantungi sebuah torus kompleks-2, sebuah struktur yang berdimensi dua di bilangan kompleks dan berdimensi empat di bilangan real.
Benda yang tergantung di atas suatu titik ini, dalam matematika disebut serat titik tersebut, seluruh X disusun serat demi serat seperti ini.
Setelah langkah ini, di atas ketiga titik khusus masih kosong, artinya seluruh bola tertusuk tiga lubang.
Langkah ketiga, ratakan tiga lubang itu.
Yang disebut mengisi lubang adalah memberi ketiga titik kosong ini masing-masing sebuah serat untuk dimasukkan, dijahit menjadi sebuah manifold kompak yang utuh.
Bagian yang paling cerdik adalah, ketiga lubang tidak menggunakan metode yang sama, setiap lubang justru masuk ke dalam cakupan metode pengisian klasik yang sesuai.
Titik puncak t = ∞ menggunakan degenerasi torus Mumford, serat yang dimasukkan disebut W, didapatkan dengan merekatkan tiga pasang sisi berhadapan dari batas segi enam permukaan del Pezzo derajat enam.
Dua titik tersisa t = 0 dan t = 1 menggunakan transformasi logaritmik Kodaira, dengan multiplisitas masing-masing 3 dan 4, tepat sesuai dengan orde 3 dan 4 dari kedua titik di dasar.
Saat ketiga lubang diratakan, sebuah manifold kompleks berdimensi tiga kompak bernama X, lahir ke dunia.
Objek sudah dibuat, tetapi apakah itu benar-benar S6?
Pada titik ini, X sudah menjadi manifold kompleks yang sepenuhnya sah, tetapi pertanyaan ini belum terjawab.
Bagian 7 makalah menghitung kelompok fundamental X dengan keras, hasilnya adalah π1(X) ≅ Z / |12l0 − 4l1 − 3l2|.
Kelompok fundamental secara kasar dapat dipahami sebagai, apakah ada lubang yang tidak bisa dihindari di ruang ini. Lingkaran apa pun yang digambar di bola dapat menyusut menjadi sebuah titik, jadi kelompok fundamental bola adalah trivial.
Tiga bilangan bulat (l0, l1, l2) dalam rumus ini merekam seberapa besar serat terpuntir saat menjahit ketiga lubang itu.
Substitusikan (0, 1, −1), hitung 12×0 − 4×1 − 3×(−1) = −1, nilai absolutnya kokoh di 1.
Dan Z modulo 1 adalah kelompok trivial, kelompok fundamental di sini benar-benar hilang, X dan bola cocok di poin pertama.
Karena X sendiri terhubung sederhana, homologinya tepat sama dengan S6, dengan menggunakan dua teorema besar Hurewicz dan Whitehead, ia jelas adalah bola homotopi enam dimensi, lalu dengan menerapkan konjektur Poincaré umum yang diberikan Smale pada 1961, ia homeomorfik terhadap S6.
Terakhir, tinggal satu hambatan: struktur halus.
Karena dalam topologi, homeomorfik tidak sama dengan difeomorfik. Dua objek mungkin terlihat persis sama, tetapi cara melakukan kalkulus di atasnya tidak cocok, penipu seperti ini punya nama khusus, disebut bola eksotis.
Untungnya, sejak 1963, Kervaire dan Milnor sudah menghitung utang ini, dunia enam dimensi bersih, kebetulan tidak ada satu pun bola eksotis, jika diubah menjadi tujuh dimensi, benda ini bisa muncul 28 sekaligus.
Jadi homeomorfik di sini langsung naik tingkat menjadi difeomorfik, wujud asli X adalah S6.
Yang Mengakhirinya, Bidang Utamanya Bukan Geometri Kompleks
Gelar Alpöge adalah Peneliti Junior Harvard Society of Fellows, sekaligus menjabat sebagai peneliti pascadoktoral di Anthropic, bidang utamanya adalah teori bilangan dan geometri aritmetika, air geometri kompleks ini jarang dia terjuni.
Dan Yuan membocorkan bahwa, tiga hari sebelum memecahkan masalah ini, barulah dia berdiskusi dengan Alpöge tentang kebuntuan ini.
Dari Mencari Jawaban, Hingga Membuat Jawaban
Menghancurkan masalah yang tertahan selama tujuh puluh tahun lebih hanya dalam tiga hari, hal ini sendiri sudah cukup luar biasa.
Tapi sebenarnya ini hanya yang ketiga dalam 35 hari.
20 Juli, Alpöge menggunakan Claude Fable 5 menghantamkan contoh penyangkal mematikan untuk konjektur Jacobian, masalah yang diajukan tahun 1939 itu, tergantung selama 87 tahun tanpa bisa dipecahkan.
Hanya tiga minggu kemudian, 10 Agustus, sebuah Claude versi penelitian yang belum dirilis dan hingga kini tidak diungkap identitasnya, meningkatkan persentase pembuktian nol fungsi zeta Riemann yang jatuh di garis kritis, dari 41.6% menjadi 67.2%.
Dalam pertempuran konsumsi daya komputasi itu, ia mengerahkan sekitar 60 sub-agen cerdas sekaligus, mengetik lebih dari 2400 perintah shell, membakar 31 juta token keluaran.
Kemudian tanggal 24 Agustus, yaitu S6 kali ini.
Dua kali sebelumnya, Anda masih bisa menjelaskan dengan susah payah, AI hanyalah mesin pencari dengan daya komputasi sangat kuat, satu mencari contoh penyangkal dalam ruang solusi yang diketahui, satu menyambung paksa dua makalah yang sudah ada di perpustakaan.
Hanya kali ini, sifatnya benar-benar berubah.
Objek geometri ini awalnya tidak ada, modelnya yang memaksanya tercipta.
Profesor Madya Matematika dan Statistika Universitas Negeri New York di Albany, Justin Curry, mengatakan tegas: Jika pembuktiannya benar, ini pasti pencapaian AI yang paling luar biasa baru-baru ini.
Selama 78 tahun terakhir, semua orang bertanya hal yang sama, apakah ada struktur kompleks di S6 atau tidak.
Dan mulai saat ini, yang seharusnya ditanyakan mungkin sudah berbeda.
Sebenarnya masih berapa banyak yang tersembunyi di sana?
Referensi: https://alpo.ge/s6.pdf
Artikel ini berasal dari akun WeChat publik "新智元", penulis: ASI启示录; editor: 摩西 大卫
