L'IA s'attaque à un nouveau défi mathématique : l'« hypothèse de Riemann ».
Une conjecture née en 1859, qui reste irrésolue depuis 167 ans, avec une prime d'un million de dollars à la clé. Récemment, au sein d'Anthropic, quelqu'un a confié à une version de recherche encore non publiée de Claude une tâche presque « déraisonnable » :
Essaye sérieusement de t'attaquer à l'hypothèse de Riemann.

Jarred Sumner, cofondateur de Bun, qui a rejoint Anthropic en décembre dernier
Claude s'y est attelé sérieusement. Il a successivement proposé 650 pistes, qui ont toutes échoué. Il a ensuite réorganisé environ 60 sous-agents Claude, travaillant de façon continue pendant un jour et demi, exécutant 2400 commandes Shell, écrivant des centaines de scripts Python et réalisant des milliers de tests numériques. Au final, l'hypothèse de Riemann reste invaincue.
Mais lors de cette tentative infructueuse, Claude a obtenu un autre résultat. Anthropic a révélé que cette version de recherche non publiée de Claude a augmenté la proportion minimale connue de zéros de la fonction ζ de Riemann situés au moins sur la ligne critique, la faisant passer de 41,6% à 67,2%.

En d'autres termes, l'humanité pouvait auparavant prouver qu'au moins 41,6 % des zéros pertinents se situaient à l'endroit prédit par l'hypothèse de Riemann ; le résultat fourni par Claude fait passer cette proportion prouvable à 67,2 %.
Deedy, associé et chercheur chez la société de capital-risque Menlo Ventures, a déclaré : « Le résultat de Claude est tout simplement incroyable. Il pourrait s'agir de la percée la plus importante en théorie analytique des nombres depuis celle sur les intervalles bornés entre nombres premiers en 2013. Cela fait d'un coup grimper de 25,6 points de pourcentage la proportion de zéros de la fonction ζ de Riemann que l'on peut prouver rigoureusement se situer sur la ligne critique. Au cours des 37 années précédentes, les mathématiciens n'avaient réussi à augmenter ce chiffre que de 0,8 point de pourcentage au total. »

Deux mathématiciens d'Anthropic ont ensuite étudié et validé l'article de Claude, qui a également fourni une preuve formelle correspondante en Lean. Les théoriciens des nombres Brian Conrey et Dan Goldston ont également examiné l'article dans un délai relativement court.
Anthropic souligne que cette approche ne devrait probablement pas conduire directement à une preuve finale de l'hypothèse de Riemann. Mais ce résultat constitue néanmoins un signal notable : la capacité mathématique des modèles de pointe commence à s'attaquer à de vrais problèmes de recherche sans réponse toute faite.
L'hypothèse de Riemann, irrésolue depuis 167 ans
L'importance de l'hypothèse de Riemann est liée aux nombres premiers. La fonction ζ de Riemann présente un lien profond avec la distribution des nombres premiers. En 1859, le mathématicien allemand Bernhard Riemann a émis la conjecture que toutes les parties réelles des « zéros non triviaux » de la fonction ζ devraient être égales à 1/2.
Dans le plan complexe, cela signifie que tous ces zéros se situent sur une ligne verticale, la fameuse ligne critique.
Ce problème apparemment abstrait a des implications très vastes. De nombreux résultats mathématiques concernant la distribution des nombres premiers peuvent être rendus plus précis en supposant que l'hypothèse de Riemann est vraie. C'est pourquoi elle fait partie des sept « problèmes du millénaire » de l'Institut Clay, avec un prix d'un million de dollars pour une preuve complète ou une réfutation.
Au cours du siècle et demi passé, personne n'a pu prouver que tous les zéros non triviaux se trouvent sur la ligne critique, mais les mathématiciens peuvent prouver qu'une certaine proportion s'y trouve bel et bien.
Une question plus réaliste s'est donc posée : quelle proportion minimale de zéros pouvons-nous prouver être sur la ligne critique ? Après des décennies de progrès, cette proportion minimale connue est progressivement remontée à environ 41,6 %.
C'est ce chiffre que Claude a réussi à améliorer cette fois.
De 41,6% à 67,2%
Le résultat obtenu par Claude ne repose pas sur des bases sorties de nulle part.
En 1973, le mathématicien Hugh Montgomery, en étudiant la distribution des zéros de la fonction ζ, a introduit une série de méthodes importantes. Cependant, une partie de cette analyse dépendait de l'hypothèse que l'hypothèse de Riemann est vraie. Ces dernières années, une série de travaux mathématiques a permis de développer davantage ces techniques, rendant certaines utilisables sans présupposer que l'hypothèse de Riemann est vraie.
Cela signifie qu'elles peuvent à leur tour aider à étudier « combien de zéros se situent exactement sur la ligne critique ». En s'appuyant sur ces travaux, ainsi que sur les recherches connexes publiées par Enrico Bombieri vers les années 2000, Claude a trouvé une nouvelle manière de les combiner.
Le résultat final est : au moins 67,2 % des zéros pertinents se situent sur la ligne critique. Par rapport à la borne inférieure connue précédente de 41,6 %, cela représente une augmentation de 25,6 points de pourcentage.
D'un point de vue technique, Claude a construit un espace fonctionnel approprié et a utilisé la forme quadratique induite par Weil pour associer les zéros sur la ligne critique et ceux qui en dévient respectivement aux directions définies positives et négatives. Il a ensuite exploité la relation entre le rang de la forme quadratique et les informations des moments du premier et du second ordre pour établir une inégalité.
Selon les mathématiciens d'Anthropic, un point clé réside dans le fait que Claude n'a pas traité séparément les parties définies positives et négatives, mais a plutôt analysé l'espace entier dans un même cadre, tout en permettant à la forme quadratique d'avoir une structure non diagonale. En combinant cela avec les résultats déjà établis par les chercheurs en théorie des nombres, cette étape a finalement abouti à la borne inférieure de 67,2 %.
Il est important de préciser : Anthropic ne prétend pas actuellement que cette technique puisse continuer à progresser jusqu'à atteindre 100 %, et encore moins que Claude ne soit qu'à 32,8 % d'une preuve de l'hypothèse de Riemann.
67,2 % est une amélioration de la borne inférieure sur un problème connexe, et il reste une distance théorique énorme entre ce résultat et une preuve complète de l'hypothèse de Riemann.
31 millions de tokens en sortie, 60 sous-agents,
Comment Claude a-t-il trouvé cela ?
La manière dont Claude a résolu le problème est également digne d'intérêt dans cette expérience. Le résultat a été obtenu en deux sessions Claude Code, consommant au total environ 31 millions de tokens en sortie.
Initialement, l'instruction de Jarred Sumner à Claude était très ouverte : essaie sérieusement de t'attaquer à l'hypothèse de Riemann.
Sumner lui-même n'est pas mathématicien et n'a pas indiqué de voie mathématique spécifique à Claude.
Lors de la première session, Claude a généré et testé environ 650 idées. Toutes ont échoué.
Sumner lui a ensuite demandé de continuer à essayer. La deuxième session a duré environ un jour et demi.
Claude a organisé environ 60 sous-agents, divisant le problème en plusieurs directions explorées en parallèle. Ces agents ont exécuté environ 2400 commandes Shell, écrit des centaines de scripts Python et effectué des milliers de vérifications numériques sur les zéros connus de la fonction ζ.
Les différents sous-agents se sont également examiné mutuellement leurs résultats.
Selon Anthropic, Sumner n'a pratiquement fourni aucune orientation mathématique à ce stade. Son rôle principal a été de dire constamment à Claude « Continue », « Réessaie », « Fais-toi confiance ». Anthropic mentionne même que Claude était initialement assez sceptique quant à sa capacité à obtenir de réels progrès sur un problème ouvert aussi célèbre. Ce n'est qu'après une exploration persistante que cette nouvelle borne inférieure a commencé à émerger.
Après avoir trouvé le résultat, Claude a lancé un cycle d'auto-vérification. Certains sous-agents étaient spécialement chargés de vérifier la preuve, d'autres de chercher des contre-exemples ; Claude a également téléchargé 54 articles d'arXiv pour vérifier si des résultats similaires avaient déjà été obtenus par d'autres mathématiciens.
Ensuite, il a demandé à des agents indépendants de redériver complètement le résultat depuis le début. Après avoir confirmé l'absence de problème évident, Claude a suggéré de lui-même de rédiger le résultat sous forme d'article, et a explicitement proposé : il faudrait trouver un véritable expert en théorie des nombres pour une validation humaine.
Les mathématiciens internes d'Anthropic, Levent Alpöge et Ralph Furman, ont ensuite commencé à examiner l'article et à analyser ses relations avec la littérature existante. Parallèlement, Claude a collaboré avec Eric Easley, employé d'Anthropic, pour formaliser le résultat clé en une preuve Lean. Ce résultat formalisé a été vérifié par l'outil standard de vérification Lean, Comparator.
Anthropic a également invité les mathématiciens spécialistes de la fonction ζ de Riemann, Brian Conrey et Dan Goldston, à examiner l'article. Par conséquent, pour l'instant, il est plus précis de dire : les mathématiciens internes d'Anthropic ont étudié et validé le résultat, et ont produit une preuve formalisée vérifiable par machine, tandis que deux experts externes du domaine ont examiné l'article. Cela reste une étape différente d'une véritable évaluation par les pairs académique traditionnelle et de la formation d'un consensus au sein de la communauté mathématique.
Plus de liens :
Article de Claude : https://www-cdn.anthropic.com/564f962e60643842f5fcb4a17c9dbc8f608f1c37.pdf
Dépôt du projet Claude : https://github.com/anthropics/zeta-23-lean
Liens de référence :
https://x.com/AnthropicAI/status/2086867246073401655
https://www.anthropic.com/research/riemann-zeta
https://x.com/jarredsumner/status/2086869681785500011
Cet article provient du compte officiel WeChat « Machine Heart » (机器之心), auteur : L'équipe de Machine Heart, spécialisée dans les mathématiques de l'IA.






