L'IA a résolu un vieux problème mathématique resté en suspens pendant 80 ans : la conjecture d'Erdős sur les distances unitaires dans le plan.
Un après-midi de mai, quand Timothy Gowers a appris la nouvelle pour la première fois, il a cru que l'IA avait produit une preuve.
Si c'était vrai, « les mathématiciens pourraient bientôt être obsolètes. »
Il a passé toute une soirée à réajuster sa vision du monde.
Le lendemain matin, un e-mail de clarification est arrivé : l'IA n'avait pas prouvé la conjecture, elle l'avait réfutée.
Gowers s'est alors « senti soulagé ».
Pourquoi le fait que l'IA ait trouvé un contre-exemple le rassurait-il plus que si elle avait prouvé un théorème ?
Le 12 août, un billet de blog de lui a donné la réponse.
Tout a commencé le 1er août.
Ce jour-là, OpenAI a dévoilé d'un coup dix résultats en mathématiques et en informatique théorique.
Pour citer les termes officiels : chacun d'entre eux a résolu un problème ouvert de longue date, ou a réalisé des progrès substantiels sur une question connexe.
Ces résultats proviennent d'Astra, une version interne du modèle d'OpenAI qui n'a pas encore été publiée.
Ces jours-là, il n'y avait qu'une seule réaction sur les réseaux sociaux : cette fois, c'est vraiment différent.
Comme l'a dit Simon Willison, les mathématiciens en ligne vivaient collectivement un « moment Deep Blue ».
Quelques jours plus tôt, le mathématicien Kirwin Hampshire avait déjà écrit un article intitulé « La Nuit Noire des Mathématiques ». Ce qui l'avait déclenché, c'étaient les résultats précédents, de moindre ampleur ; il décrivait être plongé dans une profonde crise spirituelle.
Gowers a d'abord reconnu que ces dix résultats étaient extrêmement impressionnants, puis a soulevé une question :
Si les grands modèles sont déjà plus forts que tous les humains dans tous les aspects des mathématiques, grâce à leur avantage de vitesse, les résultats devraient déferler comme un torrent.
Pourquoi ce torrent n'est-il pas arrivé ?
Deux mathématiciens ont écrit deux articles à la suite de ces résultats
En 11 jours, suite à ces dix résultats d'OpenAI, deux articles sont apparus sur arXiv.
Le 3 août, Francesco Fournier-Facio, spécialiste de la théorie des groupes à Cambridge, a d'abord publié un article.
Il a retiré le critère le plus crucial de la preuve d'OpenAI, a contourné l'algèbre de Leavitt utilisée à l'origine, et a construit, à partir de rien, une version que la méthode originale ne pouvait pas produire : un groupe non sofic sans torsion.
Le 11 août, Raphael Steiner a modifié la construction récursive des nombres de Ramsey multicolores d'OpenAI pour la généraliser à tous les cycles impairs fixes.
Le fait que des personnes puissent écrire des articles poursuivant les recherches d'Astra montre qu'elle fournit une méthode capable de générer de nouvelles choses.
Fournier-Facio a également déclaré qu'il y avait une infinité de directions pour pousser plus loin le résultat de Kun–Thom, dont beaucoup ne tiennent pas du tout, et beaucoup d'autres qui, même si elles tiennent, ne seraient pas utiles.
La direction choisie par OpenAI, la plupart des experts familiers avec ce domaine pourraient probablement la prouver. La difficulté réside dans le fait de penser à l'essayer parmi une infinité d'autres.
Fournier-Facio a jugé dans son article que la nouveauté d'OpenAI résidait dans l'énoncé de cette proposition, et non dans la technique de preuve.
Il a donné une analogie frappante :
L'IA n'est pas limitée par le temps et les ressources, donc elle peut continuer à lancer des choses contre un mur pour voir ce qui colle.
Contre-exemple et théorème, ce ne sont pas du tout deux capacités distinctes
Dans l'intuition des mathématiciens, trouver un contre-exemple est une question de chance.
Il suffit de produire un cas particulier, de percer un trou dans la conjecture, et la proposition s'effondre. Prouver un théorème est un travail dur, il faut garantir qu'il n'y a pas d'exception, et il faut aussi cette perspicacité qui apparaît après de longues réflexions.
Ainsi, on peut accepter que l'IA soit douée pour trouver des contre-exemples. C'est quand elle excelle à prouver des théorèmes que le changement de dynastie devient réel.
Mais Gowers veut dire que cette ligne de démarcation ne tient pas. Trouver un contre-exemple et prouver un théorème ne sont pas du tout deux capacités distinctes.
Il reconnaît d'abord que les résultats les plus significatifs de l'IA se concentrent actuellement sur les contre-exemples.
La conjecture des distances unitaires, la conjecture jacobienne, les groupes non sofic, les nombres de Ramsey multicolores, tout cela semble en faire partie.
Mais les grands modèles peuvent aussi prouver des propositions universelles difficiles, même si ces théorèmes n'ont pas encore atteint le poids de ces contre-exemples.
Ensuite, il présente deux résultats.
Vinogradov a prouvé en 1937 : tout entier suffisamment grand peut s'écrire comme la somme de trois nombres premiers.
Gluskin a prouvé en 1981 : dans toute dimension, il existe deux « formes » d'espaces extrêmement différentes.
Si l'on traduit ces deux phrases dans le format des articles mathématiques, leur squelette est presque identique. Pourtant, personne ne dirait que Vinogradov a trouvé un contre-exemple, ni que Gluskin a prouvé un théorème.
La différence réside dans l'endroit où se situe l'étape difficile.
Tout l'effort de Vinogradov réside dans le fait de faire en sorte que trois nombres premiers s'ajustent exactement pour donner le nombre spécifié. Du côté de Gluskin, construire deux espaces d'une dimension donnée n'est pas difficile du tout ; ce qui est difficile, c'est de les rendre suffisamment éloignés.
Le même squelette, avec des points de difficulté différents, devient d'un côté un théorème, de l'autre un exemple.
Il y a une nuance plus subtile. Le mot « contre-exemple » comporte une dimension psychologique. Il ne mérite ce nom que s'il réfute une proposition que l'on avait de bonnes raisons de croire vraie.
Les groupes non sofic ne comptent pas. Selon Gowers et Fournier-Facio, la littérature comporte déjà plusieurs idées de construction ; peu d'experts croyaient vraiment que tous les groupes étaient sofic. Ainsi, plus précisément, OpenAI a fourni le premier exemple concret de groupe non sofic.
Concernant le résultat Ramsey multicolore, Gowers est plus à même d'en parler. Dans sa jeunesse, il a étudié une forme équivalente, et la direction dans laquelle il s'était investi à l'époque était précisément celle qui s'est avérée correcte par la suite. Pour lui personnellement, c'était un exemple attendu, pas un contre-exemple.
Le même résultat est un contre-exemple pour ceux qui croyaient à la conjecture, mais pour lui, ce n'est qu'un exemple.
Cela montre que la ligne de démarcation dépend de la personne, pas des mathématiques.
Puisque contre-exemple et théorème sont indissociables, on ne peut pas classer les forces et faiblesses de l'IA en mathématiques selon le type de proposition.
Alors, selon quoi les classer ?
Huit méthodes pour trouver des exemples, l'IA n'en maîtrise que quatre
La division ne se fait pas par type de proposition, mais par la manière de rechercher.
Gowers énumère huit méthodes courantes que les mathématiciens utilisent pour trouver des exemples :
Essayer tour à tour les exemples standards dont on dispose.
Assembler des exemples basiques.
Laisser des blancs puis compléter les conditions.
Prouver par l'absurde qu'il est impossible qu'il existe.
Corriger à plusieurs reprises la conjecture de l'étape précédente.
Construire pas à pas selon les conditions.
En tirer un au hasard.
Prendre un exemple suffisamment général.
Il estime que les grands modèles seront très forts dans quatre de ces méthodes : essayer les exemples existants, construire étape par étape, tirer au hasard, prendre un exemple général.
Ces quatre méthodes partagent le fait d'avoir des procédures établies, d'être riches en exemples dans les données d'entraînement, et d'avoir un faible coût de l'échec. Le modèle n'a qu'à essayer un par un, et finira par en trouver un.
Les trois autres sont différentes. Laisser des blancs puis compléter, prouver l'impossibilité, corriger à plusieurs reprises : ces trois méthodes exigent de juger à plusieurs reprises en cours de route la même chose : est-ce que le chemin que je suis maintenant vaut encore la peine d'être poursuivi ?
L'explication de Gowers est simple à comprendre.
Les grands modèles ont deux avantages incontestables : une connaissance large qui couvre presque tous les raisonnements standards ; et la vitesse, ils peuvent échouer d'innombrables fois avant de trouver la solution.
Ces deux avantages combinés créent un style totalement différent de celui des humains : plus le problème comporte une part de chance, plus l'IA prend l'avantage.
Le territoire que les humains parviennent encore à garder est celui des problèmes avec des embranchements particulièrement nombreux et profonds.
Les mathématiciens appellent cela l'arbre de recherche.
À chaque pas en avant, une douzaine de nouvelles branches apparaissent, de plus en plus larges en descendant. Il est impossible de les explorer toutes ; il faut juger à mi-parcours lesquelles peuvent être éliminées, les couper directement.
Cette action s'appelle l'élagage. Sans élagage, même avec une puissance de calcul énorme, on n'arriverait jamais au bout avant l'aube.
Une preuve supplémentaire vient de la réaction collective des experts.
Gowers remarque que les commentaires sont très cohérents : au début, on est stupéfait que le problème ait été résolu, mais en y regardant de plus près, la méthode n'est finalement pas si nouvelle, un expert approprié avec un indice aurait pu la trouver aussi.
Ce n'est pas déprécier la découverte de l'IA, c'est lui donner un portrait plus précis :
Son avantage ne réside pas dans le fait d'être plus intelligente que l'homme, mais dans le fait qu'elle « peut se permettre de perdre ».
Pour le même problème, l'homme n'a le temps d'essayer que quelques chemins, elle peut en essayer des centaines.
Pourquoi les grands modèles ne développent-ils pas ce flair ?
Première raison : cette compétence n'est tout simplement pas dans les données d'entraînement.
Les preuves publiées sont toutes des « produits finis propres » : les directions que le découvreur a essayées, le moment où il a senti que cela n'allait pas, les raisons du changement de cap, tout cela est effacé.
Le modèle voit la conclusion, pas le processus.
En réalité, personne ne l'a jamais enseigné aux humains non plus. La différence est que les mathématiciens développent cette compétence en se confrontant à des blocages, des erreurs, des changements de direction, tandis que le modèle ne peut l'apprendre qu'à partir de produits finis organisés par d'autres.
La deuxième raison est plus contre-intuitive : la rapidité elle-même est un obstacle.
Les humains doivent élaguer radicalement, car une vie ne suffit que pour quelques chemins.
Les grands modèles ont la vitesse et l'étendue des connaissances, ils peuvent supporter des recherches inefficaces que les humains ne pourraient absolument pas supporter. Puisqu'ils n'en manquent pas, ils n'ont pas la pression impérative d'élaguer.
Gowers le dit clairement : le succès actuel des grands modèles utilise peut-être des méthodes que les humains jugeraient extrêmement inefficaces, simplement parce que les embranchements ne sont pas encore assez nombreux pour les submerger.
Troisièmement, cela est difficile à tester expérimentalement. Une idée qui semble ne pouvoir venir que d'une réflexion approfondie pourrait aussi bien être simplement la reprise de la réflexion d'un mathématicien humain issue de la littérature.
Gowers a également inclus dans son long article son expérience personnelle d'utilisation.
Lors de discussions avec 5.6 Pro sur des problèmes ouverts, il obtient souvent des propositions qui semblent prometteuses à première vue, mais qui, à y réfléchir, ne sont pas très viables. Et il reçoit souvent cette phrase en conclusion : Je n'ai pas répondu à votre question, mais je l'ai réduite à un problème plus étroit et plus précis.
Après cinq fois de suite, on ne voit plus aucun progrès.
Fait intéressant, un autre lauréat de la médaille Fields parle de la même chose.
Le 24 juillet, Terence Tao a donné une conférence publique lors du Congrès international des mathématiciens, intitulée « Les Mathématiques à l'Ère de l'IA ».
Il s'est plaint que les mathématiques générées par l'IA sont pénibles à lire : la priorité est complètement faussée, elles peuvent passer trois pages à prouver un lemme évident, puis trois lignes à traiter l'étape vraiment intéressante.
Les humains n'écrivent pas les preuves ainsi. Les parties simples sont survolées, les parties difficiles s'arrêtent, s'organisent soigneusement, en essayant de minimiser le travail inutile. Le lecteur, grâce à ce rythme, peut deviner où se situe la difficulté.
Tao lui a donné un nom : la friction naturelle.
Capture d'écran de la conférence de Terence Tao à l'ICM 2026 : Les preuves écrites par l'homme laissent une « friction naturelle » aux endroits difficiles, invitant le lecteur à ralentir ; les preuves trop polies par l'IA l'effacent également.
L'IA passe à toute vitesse sur le difficile comme sur le facile, donnant l'impression que tout est identique.
Il raconte son propre exemple.
Pendant ses études doctorales, en déchiffrant l'article de Bourgain de 1991, il avait laissé une note en marge : Je déteste Jean Bourgain.
Après l'avoir digéré à la force du poignet, il a finalement compris sa manière de penser, et a fini par préférer lire ses articles.
Il dit que si cette preuve avait été polie par plusieurs couches d'IA, il n'aurait peut-être pas acquis cette formation.
L'information sur « quelle étape est difficile » n'a jamais été officiellement enregistrée dans la tradition de l'écriture mathématique humaine, donc le modèle ne peut pas l'apprendre.
Et ce que l'IA écrit aplatit ce qui reste de cette trace.
Cela devient donc un cercle vicieux : le modèle n'apprend pas le jugement, et ce qu'il produit rend encore plus difficile l'apprentissage pour la génération suivante de modèles.
La solution proposée par Gowers se situe au niveau de la fonction de récompense du modèle.
Pendant l'entraînement, il ne faut pas seulement le récompenser lorsqu'il obtient une solution, il faut aussi le pénaliser sur deux points : s'engager trop dans des impasses, et chercher directement des réponses toutes faites dans la littérature.
Ne récompenser que le résultat ne donnera que des résultats sans processus.
Cette affirmation est valable pour l'entraînement, et tout aussi valable pour la communauté mathématique.
Que faut-il pour franchir le cap ?
Gowers donne une mesure difficile à tricher.
Il cite le problème du cap-set de 2016.
Ce problème demande : dans une grille de haute dimension en base trois, combien de points peut-on sélectionner au maximum pour qu'aucun triplet de points ne forme une progression arithmétique. Pendant des décennies, la borne n'a été que très légèrement abaissée.
Cette année-là, une nouvelle solution est apparue, balayant d'un coup la meilleure borne précédente, utilisant une approche différente de toutes celles qu'il avait imaginées.
Mais avec le recul, la méthode aurait dû être exactement comme cela, et pourtant personne n'y avait pensé avant.
Immédiatement après, une foule de personnes s'y est précipitée pour comprendre ce que cette nouvelle technique pouvait accomplir d'autre.
Une véritable bonne méthode ne résout pas seulement le problème actuel ; elle pousse immédiatement un groupe de personnes à changer leur travail en cours.
Le jour où le modèle produira lui-même quelque chose d'équivalent, il considérera que ce seuil aura été franchi.
Cet article provient du compte WeChat public « 新智元 » (Nouvelle Ère de l'Intelligence), auteur : ASI Révélations
