Une simple page, a suffi à résoudre un problème osseux qui avait nécessité 44 pages dans un article de premier plan.
En 1991, un article de 44 pages fut publié dans *Les Annales de Mathématiques* (Annals of Mathematics).
L'auteur était József Beck, un nom connu de tous dans le cercle des mathématiques combinatoires.
Il est à l'origine du théorème de Beck-Fiala, lauréat du prix Fulkerson en 1985, conférencier invité au Congrès international des mathématiciens en 1986, et l'un des fondateurs de la théorie des écarts.
Le titre de l'article était *Zéros polynomiaux sur le cercle unité : un problème d'Erdős*, et il résolvait le problème numéro 119 du répertoire des problèmes d'Erdős (Erdős Problems).
Si l'on prend arbitrairement une suite de nombres complexes comme zéros sur le cercle unité, multipliés pour former un polynôme, la norme maximale Mn de ce polynôme sur le cercle unité peut-elle être garantie de dépasser n à la puissance c pour une infinité de n.
Beck a prouvé que oui. Ce problème était considéré à l'époque comme l'un des plus difficiles à résoudre.
L'IA a récupéré la récompense d'Erdős. Le problème 119 posait initialement trois questions, la troisième étant assortie d'une prime de 100 dollars, dont le statut est désormais marqué RÉSOLU.
Trente-cinq ans plus tard, cet article a été surpassé par une seule page.
Celui qui le dit est Thomas Bloom.
Il est mathématicien, chercheur à l'Université de Manchester, et le créateur et mainteneur du site web erdosproblems.com.
Les plus de 1000 problèmes ouverts laissés par Erdős sont répertoriés sur ce site, première étape pour les mathématiciens du monde entier qui les suivent.
C'est pourquoi chaque fois qu'une entreprise d'IA annonce "avoir résolu un problème d'Erdős", elle doit d'abord passer par son jugement.
Il a écrit sur X :
Jusqu'à présent, GPT-5.6 Sol est le nouveau modèle le plus intéressant mathématiquement que j'ai vu. Toutes les nouvelles preuves soumises à erdosproblems.com, que j'ai examinées en détail, étaient correctes et contenaient des idées intéressantes.
Bloom a également souligné que ce n'était pas parce que l'IA utilisait des outils plus complexes, mais parce que nous pensions à tort que ce problème était bien plus difficile qu'il ne l'est en réalité.
Le président d'OpenAI, Greg Brockman, a retweeté ce message, déclarant :
Cela ressemble à un moment charnière pour l'avancée des mathématiques. Les percées scientifiques et médicales qui peuvent véritablement améliorer la vie humaine semblent désormais très proches.
La prime de 100 dollars d'Erdős, récupérée par l'IA
Commençons par clarifier l'origine et l'évolution de ce problème.
En 1957, Erdős a posé ce problème dans un article, posant d'un coup trois questions sur la norme des polynômes à zéros sur le cercle unité.
Au cours des quarante années suivantes, il l'a réitéré en 1961, 1964, 1982, 1990 et 1997.
La première question a été résolue par Wagner en 1980.
La deuxième question a été résolue par Beck en 1991, prouvant qu'il existe un c>0 tel que max_{n≤N} M_n > N^c. C'est l'article de 44 pages des *Annales de Mathématiques*.
Cet article de Beck a été publié dans *Annals of Mathematics*, volume 134, numéro 3, 1991.
Pour la troisième question, Erdős lui-même a offert une prime de 100 dollars, mentionnée dans un de ses articles de 1997.
Aujourd'hui, c'est GPT-5.6 et un mathématicien nommé Korsky qui ont récupéré la prime. Ils n'ont utilisé qu'une seule page pour résoudre la question que Beck n'avait pas abordée.
Erdős a proposé des milliers de problèmes au cours de sa vie, offrant ses propres récompenses, allant de 25 à 10 000 dollars.
L'évaluation de Bloom est la suivante : sous les instructions de Korsky, GPT a utilisé seulement une page de techniques simples d'analyse harmonique pour prouver un résultat plus fort que l'article de 44 pages de Beck dans *Annals*.
L'étape clé, comme l'a souligné Bloom plus tard dans la section des commentaires, était la suivante : effectuer une convolution d'une fonction non négative, puis la translater de 1 dans le temps, rend l'expression soudainement lisse et permet de résoudre une partie initialement très difficile.
Il a dit que cette approche consistant à estimer la norme de l'opérateur à l'aide de la norme duale et du produit scalaire est l'une des méthodes les plus courantes en analyse.
Ce n'est pas un nouvel outil, mais un outil ancien appliqué là où personne n'y avait pensé auparavant.
Bloom explique que l'article de Beck dans *Annals* contient de nombreuses idées importantes et intéressantes, simplement inutiles pour ce problème spécifique. Il a ajouté : Pour moi au moins, c'est assez surprenant.
Il a également mentionné un détail : personne n'a calculé cette constante, elle doit être très petite. Beck lui-même ne l'avait pas calculée à l'époque, et selon son jugement, si cette constante valait la peine d'être mentionnée, Beck l'aurait calculée.
Ainsi, ce n'est pas l'IA qui renverse une revue de premier plan, mais qui découvre une voie détournée que les humains auraient pu éviter.
Pour les mathématiciens, cela est bien plus stimulant que "l'IA a résolu un autre problème".
Résoudre un problème ne fait qu'ajouter un outil. Cette fois, c'est l'outil qui corrige ceux qui l'utilisent.
Un humain hausserait les épaules et partirait, l'IA essaierait la prochaine
S'il ne s'agissait que de cela, ce ne serait qu'un bel exemple isolé.
GPT-5.6 Sol Ultra a été rendu accessible à tous le 9 juillet. Le 10 juillet, OpenAI a annoncé que GPT-5.6 Sol Ultra avait produit une preuve complète de la conjecture du Cycle Double Cover (Cycle Double Cover Conjecture).
Ce problème a été posé indépendamment par Szekeres en 1973 et par Seymour en 1979, et est resté ouvert pendant environ cinquante ans.
Le modèle a été alloué pendant 8 heures, en utilisant moins d'une heure en réalité, avec une méthode de 64 sous-agents intelligents travaillant en parallèle. Le prompt et le PDF de la preuve sont tous publics.
Bloom a été la première personne à donner une évaluation substantielle.
Il a déclaré qu'il s'agissait d'une preuve très élégante, puis a utilisé trois adjectifs :
Court. Élémentaire. Qui aurait pu être découverte dans les années 1980.
Il a également identifié la raison sous-jacente : il soupçonne qu'il y a un petit tournant contre-intuitif dans l'étape clé.
Comment un mathématicien humain aurait-il abordé ce problème ?
Il essaierait d'abord l'approche la plus naturelle, vérifierait l'algèbre linéaire, constaterait que cela ne fonctionne pas, puis hausserait les épaules en pensant "Je ne m'attendais de toute façon pas à ce que ce soit si facile", et s'en irait.
Mais l'IA ne se décourage pas. Elle continuera à essayer de petites variantes jusqu'à ce que l'une d'elles fonctionne.
La force de l'IA réside dans le fait qu'elle n'effectue pas d'arrêt émotionnel.
Revenons en avril dernier, GPT-5.4 Pro a résolu Erdős 1196 en 80 minutes, utilisant la fonction de von Mangoldt.
Jared Lichtman d'Oxford avait passé sept ans sur ce problème. Il a déclaré plus tard que depuis 1935, tous ceux qui travaillaient sur les problèmes d'ensembles primitifs s'étaient habitués à la même première étape, une étape qui avait occulté une possibilité technique présente en plein jour pendant 90 ans.
L'évaluation de Terence Tao fut encore plus dure : au cours des dernières décennies, l'humanité s'est collectivement égarée dès la première étape.
L'intuition humaine n'est bien sûr pas un défaut. Au contraire, c'est un outil d'efficacité : elle nous évite une multitude d'essais voués à l'échec ; sans elle, personne ne pourrait atteindre les frontières de la discipline au cours d'une vie limitée.
Le prix à payer est qu'occasionnellement, elle peut aussi éviter celui qui n'aurait pas dû l'être.
Celui qui dit que GPT-5.6 est intéressant, a dit autre chose l'année dernière
En octobre dernier, Bloom avait publiquement contredit OpenAI.
À l'époque, le vice-président d'OpenAI, Kevin Weil, avait retweeté un post de Mark Sellke et écrit : GPT-5 vient de trouver des solutions à 10 problèmes d'Erdős non résolus auparavant, et a fait des progrès sur 11 autres, ces problèmes étant ouverts depuis des décennies.
Bloom avait répondu en une phrase pour qualifier cela : Tromperie dramatique.
Il a déclaré que ces problèmes étaient marqués comme "open" sur le site uniquement parce que lui-même ne connaissait aucun article les ayant résolus. Ce que GPT-5 avait fait, c'était de trouver la littérature qu'il ne connaissait pas.
Et trouver la littérature n'est pas synonyme de construire une preuve.
La suite, beaucoup s'en souviennent.
LeCun a enchaîné, ironisant sur le fait que son propre piège s'était retourné contre lui. Hassabis fut plus direct : C'est tellement embarrassant.
Weil a supprimé son post.
Le chercheur d'OpenAI, Sébastien Bubeck, a finalement reconnu qu'ils avaient simplement trouvé des solutions déjà présentes dans la littérature.
Lorsqu'en mai dernier, OpenAI a de nouveau annoncé avoir réfuté une conjecture géométrique d'Erdős de 1946, l'annonce comprenait simultanément les évaluations de Noga Alon, Melanie Wood et Thomas Bloom.
L'IA en mathématiques a-t-elle atteint un mur ?
La polémique dans les commentaires du post de Bloom était également intéressante.
Les sceptiques étaient représentés par l'utilisateur qrdl : "Le raisonnement en chaîne (chain of thought) de la 5.6 est pitoyablement court, aucun progrès sur le problème 677, les benchmarks CritPT côté physique n'ont quasiment pas bougé par rapport à la 5.4".
Sa conclusion était : L'IA a atteint un mur en mathématiques.
L'utilisateur qrdl a posté sur le forum, disant que CritPT n'a presque pas bougé depuis la 5.4, à moins qu'ils n'aient trouvé un moyen de tricher sur les benchmarks, les résultats en resteront là.
L'argumentation de qrdl n'était pas émotionnelle.
Il estime que les grands modèles sont essentiellement des générateurs de tokens avec des poids statiques. En faisant des mathématiques, ils ne développent pas de nouvelles connexions neuronales en temps réel comme le font les humains. Et un véritable saut créatif nécessite un cerveau élastique.
La sensation de qrdl était la suivante : à chaque nouvelle session pour attaquer le 677, le modèle réessaie les mêmes vieilles approches qui ont déjà échoué.
Les contre-arguments sont arrivés rapidement.
Nat Sothanaphan a souligné que CritPT est un test de physique, pas un benchmark de mathématiques, et que l'utiliser seul pour prouver que l'IA a atteint un mur en maths, c'est choisir les données qui arrangent.
Sa preuve par contradiction : La 5.6 montre des améliorations par rapport à la 5.5 sur un grand nombre de benchmarks, y compris FrontierMath.
Une autre faction était celle des praticiens, représentée par un utilisateur nommé old-bielefelder.
old-bielefelder rapporte que GPT-5.6 Sol a réfléchi 14 minutes, revérifié un peu plus de 9 minutes, et a amélioré l'exposant de 0.72 de Pintz en 2018 à 0.7195.
Rien de révolutionnaire, mais c'est un progrès, comme le dit old-bielefelder, "la première gorgée".
En comparaison, la veille au soir, GPT-5.5 avait passé plus d'une heure sur le même problème sans que le 0.72 ne bouge.
Il a ensuite directement informé Pintz lui-même du résultat.
La troisième voix vient également de Nat Sothanaphan, qui reprend une expression de Bloom : Les mathématiques modernes sont une cathédrale immense.
Atteindre les frontières de cette cathédrale demande déjà un effort colossal, et les grands modèles sont désormais capables de le faire avec une efficacité surhumaine, les récentes percées en découlent essentiellement. Pour avancer davantage, il faut de l'intelligence fluide.
Certains disent que les grands modèles n'ont pas d'intelligence fluide, il pense que c'est faux.
L'augmentation constante des scores sur les benchmarks de la série ARC ces dernières années en est la preuve, GPT-5.6 Sol a obtenu 7,8% au niveau de raisonnement le plus élevé. Ce benchmark, lancé en mars de cette année, avait un meilleur score initial de 0,37%, tandis que les humains sont stables au-dessus de 90%.
Résultats officiels vérifiés par ARC Prize. La performance de GPT-5.6 Sol sur ARC-AGI-3 augmente fortement avec le niveau de raisonnement, Low n'atteignant que 0,3 %, Max obtenant 7,8 %.
Son explication : Les fondations de la cathédrale sont trop vastes, si vastes qu'elles masquent complètement cette intelligence fluide qui croît rapidement. Donc, si l'on ne regarde que le poids de la production, on pourrait penser que rien ne se passe.
Mais le jour où l'intelligence fluide commencera à surpasser les fondations, elle deviendra soudainement visible.
Après deux semaines de débats, ce qui a véritablement **émergé** de cette polémique, ce n'est pas "L'IA peut-elle faire des maths ?", mais la manière de définir le mot **"difficile"**.
Parmi les entrées marquées "non résolues" dans l'histoire des mathématiques, certaines reflètent la difficulté intrinsèque du problème, d'autres ne font qu'enregistrer les limites de la patience humaine.
Jusqu'à présent, ces deux aspects étaient mélangés, personne ne pouvait les distinguer. Maintenant, cela commence à être possible.
Un problème est resté sans solution pendant des décennies, peut-être pas parce qu'il est si difficile, mais simplement parce que personne n'a été assez patient pour essayer une trentième fois sur cette voie.
Combien d'autres problèmes sont bloqués uniquement par la patience humaine ?
Références :
https://annals.math.princeton.edu/1991/134-3/p03
https://www.erdosproblems.com/forum/thread/AI%20Contributions
https://arcprize.org/results/openai-gpt-5-6-sol
Cet article provient du compte public WeChat "新智元" (Xin Zhi Yuan), auteur : ASI启示录 ; éditeur : 元宇
