刚刚,数学圈炸了。
一个折磨了全球顶尖数学家22年的核心猜想,竟然被一位协和神经外科医生给解决了?
他通过自学数学,用ChatGPT 5.6自主跑16小时,终结了这个22年的数学悬案。这简直太魔幻了。
2026年7月30日,美国华盛顿大学应用数学系教授Alex Townsend像往常一样,打开了arXiv。
在此前的一年里,Townsend几乎形成强迫症式的习惯:他每隔一段时间就会向GPT 5.6提问,试图让它证明数值线性代数领域那个著名的悬案——Crouzeix猜想。
在过去几百次尝试中,AI给出的答案要么逻辑漏洞百出,要么在试图跨越某个关键引理时陷入僵局。人类在这个猜想面前已经撞墙了整整22年,AI似乎也并不比人类更聪明。
然而,这一天折磨数值线性代数界整整22年的Crouzeix猜想,被证明了。
作者不是数学家,是北京协和医院神经外科住院医师,Shanmu Jin。
他并没有正规的高等数学科班背景,本科读的是地质,后来拿了医学博士,他的唯一助手,就是GPT-5.6。
GPT-5.6在一次约16小时的自主运行中,解决了这道难题,全程无人干预。
而且,验证者名单里,有Michel Crouzeix本人——22年前亲自出这道题的人,如今亲自盖章,宣告它解决。
Townsend和Greenbaum,也都是这领域的专家,看完解题过程后,他们只有两个字形容自己的感受:「震惊」。
当一位协和住院医师自学数学
故事的主角名叫金山木(Shanmu Jin),是北京协和医院的一名博士后研究员兼神经外科住院医师。
他的履历,跟数学没有任何关系。
他的本科专业是地质学,后来跨界学医,最终获得了医学博士学位。他所受过的全部数学教育,就是普通理科生要学的基础课。
「此外的一切数学知识,都是我自学的。」在给原稿作者(Alex Townsend和Anne Greenbaum)的邮件中,金医生轻描淡写地写道。
一个神经外科医生,为什么会去啃硬核的数学猜想?
这一切源于金医生在临床和科研中的一个痛点:经颅超声研究。
在试图用超声波穿透人类复杂的颅骨结构时,他一头撞进了「矩阵分析」的庞大领域。在自学的过程中,他偶然瞥见了那个在数值线性代数界如雷贯耳的名字——Crouzeix猜想。
这个猜想的表述异常简洁,且其背后关于「数值域」的几何直观形态极具美感。这种极致的简洁与优美,深深吸引了这位跨界者。
他决定试一试。不是用传统的纸笔推导,而是用大模型。
折磨数学界22年的「魔鬼常数」
为什么这些数学家如此震惊?我们首先需要知道,Crouzeix猜想到底有多难。
在现代应用数学和工程计算中,矩阵(Matrix)是描述万物运行的通用语言。
从量子力学的态叠加,到谷歌搜索的 PageRank 算法,再到今天训练大语言模型时的超大规模参数迭代,本质上都是庞大矩阵在复平面上的投影与演变。
然而,非正规矩阵(Non-normal Matrices)的行为极其诡异,它们就像一群脾气暴躁、不可预测的野兽。
为了驯服它们,法国数学家Michel Crouzeix在2004年提出了一个极具几何直观的美妙猜想:
对于复平面上的任意多项式p和任意矩阵A,其谱范数总是可以被其在「数值域」 W(A)上的最大值所约束。
而这两者之间的最优常数,正好是 2。
形式化地表达即为:
这个不等式在应用数学界极其重要。
如果它成立,我们就能把复平面上的标量逼近误差,直接转化为矩阵函数的范数界。这对于分析矩阵函数、GMRES迭代法以及Krylov子空间方法等有着决定性的意义。
然而,「证明这个常数是2」成了无数数学家的噩梦。
但那扇通往常数「2」的大门,依然死死关闭着。直到2026年7月30日。
2007年,Crouzeix本人耗尽心力,也只能证明该不等式在常数为11.08时成立。
十年之后的2017年,美国数学研究所(AIM)甚至在圣何塞举办了一场为期一周的专题研讨会,聚集了全球顶尖的专家,探讨理论进路、数值证据、矩阵扩张等各种武器。Crouzeix与合作者帕伦西亚(Palencia)终于将这个普适常数降低到了2.414。
自那以后,人类的数学工具箱仿佛耗尽了最后一滴油。
直到这个夏天,一个拿着手术刀的「圈外人」闯了进来。
魔改「神级提示词」,ChatGPT狂奔16小时
一个临床日程极为艰苦的协和神经外科住院医,是怎么做到的?
秘密在于提示词工程(Prompt Engineering)。
金医生并没有把AI当成一个简单的问答机器,而是将其化身为一个庞大的虚拟数学研究院。
他借用并改装了OpenAI在攻克Cycle Double Cover猜想时使用的那份著名提示词,布置了一个极具战略眼光的局:
物理断网(剥夺外部依赖):提示词明确切断了系统对公开外网和其他外部上下文的访问权限。他不希望AI去搜索引擎里「抄袭」人类历史上那些失败的旧思路,而是逼迫它从公理出发,进行纯粹的原创思考。
多分支与发散思维(拒绝过早收敛):他要求ChatGPT启动大量的「子智能体」,让它们沿着真正不同的路径分别探索。指令中严厉警告:不许过早地收敛到同一个看似诱人的思路上!
残酷的对抗性审计(养蛊模式):候选的证明策略必须被反复置于对抗性审查之下。只有当其他智能体成功找到反例时,一条路线才会被彻底排除。
死磕到底的决心:提示词下达了死命令:在拿到一份能经受住极端逻辑检验的完整证明之前,绝对不许放弃。
设定好这一切后,金医生按下了回车键,然后转身去忙工作了,全程再未干预。
在ChatGPT Work模式下,GPT-5.6 Sol 就像一头不知疲倦的数字巨兽,在数学的深海中连续狂奔了大约16个小时。
在这16个小时里,AI经历了几万次假设、推翻、重建,最终成功证明。
当数学家们看到这个定理时,他们被深深震撼了:AI并没有使用人类预想中那种极其繁杂的硬估计,而是通过一种巧妙到令人拍案叫绝的「采样策略」,化简成了一个出人意料简单的「正性条件(positivity condition)」。
这就像人类一直在尝试用蛮力推开一扇巨大的铁门,而AI只是在门缝里找准了一个极其微小的受力点,轻轻一拨,门开了,堪称降维打击。
金医生谦虚地表示,找到这个关键思路「肯定有运气的成分」。但所有人都知道,机会只留给设计了完美罗盘的人。
更令人钦佩的是,金医生将这一过程完全开源。他的GitHub仓库里不仅有最终论文,还有那段神级提示词、历次迭代的手稿、Lean 4形式化证明代码以及公理审计报告。一切都在阳光下,接受全人类的检验。
开源地址:https://github.com/jinshanmu/CrouzeixConjecture
预印本:https://www.preprints.org/frontend/manuscript/f5469a625a8e7313e19bbf4d6c608cff/download_pub
八天后的第二份证明,数学界的震动
起初,面对这份横空出世的预印本,顶尖数学家们是带着怀疑审视的。毕竟,「圈外人宣布解决世界级猜想」在数学界往往是一场闹剧。
但仅仅几个小时后,Alex Townsend和Anne Greenbaum的怀疑变成了震惊,最终化为惊叹——「这个论证是真的成立!」
随后,Crouzeix猜想的提出者、著名数学家Michel Crouzeix本人也亲自下场,一行一行地死磕了这份证明。
最终,一锤定音:金医生的手稿是正确的。22年的悬案,彻底终结了。
然而,这场由AI引发的学术地震才刚刚开始。
就在金医生的预印本发布仅仅8天后(8月4日),另外两位数学家 Emiel Lorist 和 Felix Schwenninger 突然发布了一份仅有 5 页纸的独立证明!
标题:A SOLUTION TO CROUZEIX’S CONJECTURE
预印本:https://arxiv.org/pdf/2608.03841
这5页纸的证明思路与金医生完全不同,它极其短小精悍,将经典的双层势表示法与关于2-扩张的扰动引理结合在一起。
对于传统数学家来说,这种证明方式更符合人类原有的认知习惯,显得更加「友好」。
巧合的是:Lorist和Schwenninger坦言,他们在探索证明策略时,同样使用了 ChatGPT 5.6。
一项22年无人能解的难题,在AI的加持下,仅仅相隔8天,涌现出了两份截然不同却同样精妙的证明!
得知此事后,金医生不仅没有因为「被抢风头」而懊恼,反而感到纯粹的喜悦,他认为这是对自己方法的一种有趣补充。
黄金时代的黎明
在2026年的这个夏天,历史的齿轮悄然转动。
数学史上,不乏医学家取得重要的数学成果,但各个都是当时受过专门数学训练的天才。
这可能是第一个长期悬而未决的猜想,被一个没有受过专门数学训练的医生,借助AI彻底解决。
仅仅在几年以前,要想象一个AI系统能在重大猜想中贡献出「决定性的证明思路」,简直是天方夜谭。
但现在,它实实在在地发生了。
这就像天文学史上的两次飞跃。
第一次,是天文学家必须手拉肩扛地计算轨道数据,只有极少数神童才能窥探星空。第二次,则是伽利略做出了望远镜。
这毫无疑问是应用数学乃至整个科学界「黄金时代」的开端。科学的发现将被空前加速,不同学科之间的壁垒将被AI轻易击穿。
但同时,这也意味着一场身份的重塑。当庞大的算力开始接管推导,当神经外科医生也能在手术之余摘下数学皇冠上的明珠,「成为一名数学家」或者「成为一名科学家」的定义,正在经历一场剧烈的撕裂与新生。
未来已来。拿着AI这架望远镜,你想好要瞄准哪片星空了吗?
参考资料:
https://alextownsend.net/essays/SIAMNews_CrouzeixConjecture.pdf
https://www.preprints.org/manuscript/202607.1919
https://aimath.org/pastworkshops/crouzeix.html
本文来自微信公众号“新智元”,作者:ASI启示录,编辑:大卫
