AI đã giải quyết một vấn đề tồn đọng 80 năm trong toán học: Giả thuyết khoảng cách đơn vị trên mặt phẳng Erdős.
Vào một buổi chiều tháng 5, khi tin tức này lần đầu tiên truyền đến tai Timothy Gowers, ông ấy nghĩ rằng AI đã đưa ra một chứng minh.
Nếu điều này là thật, "các nhà toán học có lẽ sớm sẽ hết việc."
Ông ấy đã dành cả một buổi tối để điều chỉnh lại thế giới quan của mình.
Sáng hôm sau, một email làm rõ đã đến: AI không chứng minh được giả thuyết này, mà là bác bỏ nó.
Gowers trái lại cảm thấy "nhẹ nhõm".
Tại sao việc AI tìm ra một phản ví dụ lại khiến Gowers yên tâm hơn là nó chứng minh được một định lý?
Vào ngày 12 tháng 8, một bài blog của ông đã đưa ra câu trả lời.

Tất cả bắt đầu từ ngày 1 tháng 8.
Hôm đó, OpenAI tung ra cùng lúc mười thành tựu trong toán học và khoa học máy tính lý thuyết.
Nói theo cách chính thức của họ: mỗi thành tựu trong số đó đều giải quyết một vấn đề tồn đọng lâu dài, hoặc đạt được tiến bộ đáng kể trong các vấn đề liên quan.
Những thành tựu này đến từ phiên bản mô hình nội bộ Astra chưa được phát hành của OpenAI.
Những ngày đó, trên mạng xã hội chỉ còn lại một phản ứng: lần này thực sự khác rồi.
Như Simon Willison nói, các nhà toán học trên mạng đang trải qua một "Khoảnh khắc Deep Blue" tập thể.

Vài ngày trước đó, nhà toán học Kirwin Hampshire đã viết một bài viết có tiêu đề "Đêm tối của Toán học". Lúc đó, những gì kích hoạt ông chỉ là những kết quả có trọng lượng nhẹ hơn trước đó, ông miêu tả mình rơi vào một cuộc khủng hoảng tinh thần sâu sắc.
Gowers đầu tiên thừa nhận mười kết quả này cực kỳ đáng kinh ngạc, sau đó nêu ra một câu hỏi:
Nếu mô hình lớn đã mạnh hơn tất cả con người trong mọi mặt của toán học, với lợi thế tốc độ của chúng, kết quả lẽ ra phải tràn ra như lũ lụt.
Tại sao lũ lụt lại chưa đến?
Hai nhà toán học, theo sau loạt thành tựu này viết hai bài báo
Trong 11 ngày này, ngay sau mười thành tựu của OpenAI, hai bài báo đã xuất hiện trên arXiv.
Vào ngày 3 tháng 8, nhà lý thuyết nhóm tại Cambridge, Francesco Fournier-Facio, đã đăng một bài đầu tiên.
Ông lấy đi tiêu chí quan trọng nhất trong chứng minh của OpenAI, bỏ qua đại số Leavitt được sử dụng trong phương pháp ban đầu, xây dựng lại từ đầu, tạo ra một phiên bản mà phương pháp cũ không tạo ra được: một nhóm không sofic và không có xoắn.
Vào ngày 11 tháng 8, Raphael Steiner lại sửa đổi cấu trúc đệ quy của số Ramsey nhiều màu của OpenAI, mở rộng nó cho tất cả các chu trình lẻ cố định.
Việc có người có thể viết bài báo dựa trên kết quả nghiên cứu của Astra cho thấy nó cung cấp một phương pháp có thể phát triển.
Fournier-Facio còn nói, kết quả Kun–Thom đó có vô số hướng để tiến lên phía trước, trong đó rất nhiều hướng căn bản không đứng vững, và rất nhiều hướng dù có đứng vững cũng không có tác dụng.
Hướng mà OpenAI đã chọn, hầu hết các chuyên gia quen thuộc với lĩnh vực này đều có thể chứng minh được. Khó khăn nằm ở chỗ trong vô số hướng, nghĩ đến việc nên thử nó.

Fournier-Facio trong bài báo đánh giá, điểm mới của OpenAI nằm ở việc viết ra mệnh đề đó, chứ không phải ở kỹ thuật chứng minh.
Ông đưa ra một phép so sánh hình tượng:
AI không bị giới hạn bởi thời gian và tài nguyên, vì vậy nó có thể không ngừng ném mọi thứ lên tường, xem cái nào dính lại.
Phản ví dụ và định lý, căn bản không phải hai loại năng lực
Trong trực giác của nhà toán học, việc tìm phản ví dụ là việc may rủi.
Bạn chỉ cần tìm ra một trường hợp đặc biệt, đục thủng giả thuyết một lỗ, mệnh đề sẽ đổ. Chứng minh định lý là công việc khó khăn, phải đảm bảo không có ngoại lệ nào, còn phải có cái nhìn sâu sắc mà nghĩ rất lâu mới lóe lên.
Vì vậy, AI giỏi tìm phản ví dụ, có thể chấp nhận được. AI giỏi chứng minh định lý mới thực sự gọi là thay đổi triều đại.
Nhưng điều Gowers muốn nói là, ranh giới này căn bản không đứng vững. Tìm phản ví dụ và chứng minh định lý, căn bản không phải hai loại năng lực.
Ông đầu tiên thừa nhận, thành tựu có trọng lượng nhất của AI hiện nay thực sự tập trung vào phản ví dụ.
Giả thuyết khoảng cách đơn vị, giả thuyết Jacobian, nhóm không sofic, số Ramsey nhiều màu, nhìn vào đều là như vậy.
Nhưng mô hình lớn cũng có thể chứng minh các mệnh đề phổ quát khó, chỉ là những định lý đó chưa đạt được trọng lượng của loạt phản ví dụ này.
Sau đó, ông đưa ra hai kết quả.
Vinogradov năm 1937 chứng minh: Số nguyên đủ lớn đều có thể viết thành tổng của ba số nguyên tố.
Gluškin năm 1981 chứng minh: Trong không gian bất kỳ chiều nào, đều tồn tại hai "hình dạng" cực kỳ khác biệt.
Dịch hai câu này sang định dạng mà các nhà toán học viết bài báo, khung xương gần như giống hệt nhau, nhưng không ai nói Vinogradov tìm ra một phản ví dụ, cũng không ai nói Gluškin chứng minh một định lý.
Khác biệt nằm ở chỗ bước khó rơi vào đâu.
Tất cả công sức của Vinogradov, nằm ở việc làm cho ba số nguyên tố cộng lại đúng bằng con số được chỉ định đó. Về phía Gluškin, việc tạo ra hai không gian có chiều được chỉ định không khó chút nào, khó là làm cho chúng cách xa nhau đủ xa.
Cùng một khung xương, điểm khó khác nhau, một cái trở thành định lý, cái kia trở thành ví dụ.
Còn có một lớp ý nghĩa tinh tế hơn. Từ "phản ví dụ" mang theo thành phần tâm lý. Chỉ có bác bỏ được mệnh đề mà mọi người vốn có lý do để tin tưởng, mới xứng gọi là phản ví dụ.
Nhóm không sofic không tính. Theo cách nói của Gowers và Fournier-Facio, trong tài liệu đã có sẵn một số hướng suy nghĩ xây dựng, vốn dĩ không có nhiều chuyên gia thực sự tin rằng tất cả các nhóm đều là sofic. Do đó, nói chính xác hơn, là OpenAI đã đưa ra ví dụ đầu tiên về nhóm không sofic.
Về thành tựu Ramsey nhiều màu, Gowers càng có tiếng nói hơn. Khi còn trẻ ông từng nghiên cứu một dạng tương đương của nó, hướng ông nỗ lực hồi đó, chính là hướng sau này được chứng minh là đúng. Đối với bản thân ông, đó là một ví dụ phù hợp với dự đoán, không phải phản ví dụ.
Cùng một kết quả, với người vốn tin vào giả thuyết là phản ví dụ, với ông chỉ là một ví dụ.
Điều này cho thấy ranh giới đi theo con người, chứ không đi theo toán học.
Vì phản ví dụ và định lý không tách rời, sự mạnh yếu của AI trong toán học, không thể chia theo loại mệnh đề.
Vậy nên chia theo tiêu chí gì?
Tám phương pháp tìm ví dụ, AI chỉ giỏi bốn phương pháp
Phân chia không nằm ở loại mệnh đề, mà nằm ở cách tìm kiếm.
Gowers liệt kê tám cách đánh thông thường của nhà toán học khi tìm ví dụ:
Lật lại các ví dụ chuẩn trong tay để thử lần lượt
Lắp ghép từ các ví dụ cơ bản
Để trống trước rồi bổ sung điều kiện sau
Chứng minh ngược lại rằng nó không thể tồn tại
Sửa đổi lần đoán trước đó một lần nữa
Dựng lên từng đoạn một theo điều kiện
Chọn ngẫu nhiên một cái
Lấy một ví dụ đủ tổng quát
Ông đánh giá, mô hình lớn sẽ rất mạnh ở bốn phương pháp sau: lật ví dụ có sẵn, dựng lên từng bước, chọn ngẫu nhiên, lấy ví dụ tổng quát.
Bốn phương pháp này có điểm chung là quy trình đã chín muồi, dữ liệu huấn luyện có nhiều ví dụ dày đặc, chi phí thất bại thấp. Mô hình chỉ cần kiên trì thử từng cái một, rốt cuộc cũng sẽ va vào một cái.
Ba phương pháp khác thì khác. Để trống trước bổ sung sau, chứng minh ngược lại nó không thể, sửa đổi lần đoán trước đó, cả ba phương pháp này đều yêu cầu bạn liên tục đánh giá cùng một việc trên đường đi: con đường tôi đang đi, còn đáng để tiếp tục không.
Giải thích của Gowers không khó hiểu.
Mô hình lớn có hai ưu thế chắc chắn không nghi ngờ: một là kiến thức rộng đến mức gần như bao phủ toàn bộ lập luận tiêu chuẩn; hai là nhanh, có thể thất bại vô số lần trước khi tìm ra lời giải.
Hai điều này cộng lại, tạo thành một phong cách hoàn toàn khác với con người: thành phần may rủi của vấn đề càng nặng, nó càng chiếm ưu thế.
Lãnh địa mà con người còn giữ được, là loại vấn đề có nhiều ngã rẽ đặc biệt, và lại đặc biệt sâu.
Nhà toán học gọi đây là cây tìm kiếm.
Cứ đi xuống một bước, dưới chân lại phân ra thêm hàng chục ngã rẽ, càng xuống càng rộng. Bạn không thể đi hết tất cả các đường, phải đánh giá giữa đường những đường nào căn bản không cần đi, cắt bỏ thẳng.
Hành động này gọi là cắt tỉa. Nếu không cắt, chỉ dựa vào sức tính toán, đi đến sáng cũng không đến đáy.
Một bằng chứng đến từ phản ứng tập thể của các chuyên gia.
Gowers nhận thấy, cách nói của mọi người rất nhất quán: ban đầu kinh ngạc vì bài toán này lại được giải, xem kỹ lại phát hiện phương pháp thực ra không mới lắm, một chuyên gia thích hợp nhận được một gợi ý, vốn dĩ cũng có thể tìm ra.
Đây không phải là hạ thấp phát hiện của AI, mà là cho nó một bức chân dung chính xác hơn:
Ưu thế của nó không nằm ở chỗ thông minh hơn con người, mà ở chỗ nó "chịu thua".
Cùng một bài toán, con người chỉ đủ thử vài đường, nó có thể thử hết mấy trăm đường.
Tại sao mô hình lớn không mọc ra được khứu giác này?
Lý do đầu tiên, trong dữ liệu huấn luyện căn bản không có môn học này.
Chứng minh được công bố đều là "sản phẩm sạch sẽ": người phát hiện đã thử những hướng nào, ở bước nào cảm thấy không đúng, tại sao quay đầu, đều bị xóa sạch.
Mô hình nhìn thấy là kết luận, không nhìn thấy quá trình.
Thực ra con người cũng không ai dạy qua. Khác biệt nằm ở chỗ, nhà toán học rèn luyện bản lĩnh này trong quá trình tự mình bị kẹt, đi sai, quay đầu, còn mô hình chỉ có thể học từ sản phẩm được người khác chỉnh lý sẵn.
Lý do thứ hai càng phản trực giác hơn: nhanh, bản thân nó đã là lực cản.
Con người buộc phải cắt tỉa mạnh, vì cả đời chỉ đủ đi vài con đường.
Mô hình lớn có tốc độ cũng có bề rộng kiến thức, chịu được phương pháp tìm kiếm kém hiệu quả mà con người hoàn toàn không chịu nổi. Đã không thiếu, thì không có áp lực buộc phải cắt tỉa.
Gowers thẳng thắn nói: Thành công của mô hình lớn ngày nay, có lẽ sử dụng chính là phương pháp cực kỳ kém hiệu quả trong mắt con người, chỉ là ngã rẽ chưa nhiều đến mức đè bẹp nó.
Thứ ba, việc này rất khó làm thí nghiệm. Một ý tưởng nhìn vào chỉ có thể đến từ sự suy ngẫm sâu sắc, cũng có thể chỉ là điều chỉnh từ sự suy ngẫm sâu sắc của một nhà toán học người nào đó trong tài liệu.
Cảm nhận sử dụng của chính Gowers cũng được viết vào bài dài.
Thảo luận vấn đề mở với 5.6 Pro, thường nhận được phương án nghe có hy vọng, nghĩ kỹ lại không ổn lắm. Còn thường xuyên nhận được một câu kết thúc như thế này: Tôi không thể trả lời câu hỏi của bạn, nhưng đã quy về nó thành một vấn đề hẹp hơn và chính xác hơn.
Liên tục năm lần như vậy, thì không thấy bất kỳ tiến triển nào nữa.
Thú vị là, một nhà toán học đoạt giải Fields khác cũng đang nói về cùng một việc.
Vào ngày 24 tháng 7, Terence Tao đã có một bài phát biểu công khai tại Đại hội Toán học Quốc tế, tiêu đề là "Toán học trong thời đại AI".
Ông phàn nàn toán học do AI tạo ra đọc rất khổ sở: nặng nhẹ hoàn toàn sai vị trí, có thể dùng ba trang để chứng minh một bổ đề hiển nhiên, rồi dùng ba dòng lướt qua bước thực sự thú vị đó.
Người viết chứng minh không như vậy. Chỗ đơn giản lướt qua, chỗ khó sẽ dừng lại, tổ chức cẩn thận, cố gắng ít làm việc vô ích. Người đọc dựa vào nhịp độ này, có thể đoán chỗ khó ở đâu.
Terence Tao đặt tên cho nó, gọi là ma sát tự nhiên.

Trích từ bài phát biểu ICM 2026 của Terence Tao: Chứng minh do người viết sẽ để lại "ma sát tự nhiên" ở chỗ khó, nhắc nhở người đọc chậm lại; chứng minh được AI chỉnh sửa quá mức đã mài mòn nó đi cùng.
AI ở chỗ khó dễ đều lướt qua tốc độ cao, nhìn vào đều giống nhau.
Ông kể ví dụ của mình.
Thời nghiên cứu sinh nghiền ngẫm bài báo năm 1991 của Bourgain, bên lề trang còn để lại ghi chú năm đó: Tôi ghét Jean Bourgain.
Sau khi nghiền ngẫm cứng rắn xuống, ông trái lại hiểu được cách suy nghĩ của đối phương, sau này thích đọc bài báo của ông ấy hơn.
Ông nói, nếu chứng minh đó trải qua nhiều lớp chỉnh sửa của AI, bản thân mình có lẽ không nhận được sự rèn luyện đó.
Thông tin "bước nào khó" này, trong truyền thống viết toán của con người chưa từng được ghi chép chính thức, nên mô hình không học được.
Mà thứ do AI viết ra, lại làm mờ đi điểm dấu vết ít ỏi còn sót lại này.
Như vậy trở thành một vòng tuần hoàn sai lầm: mô hình không học được năng lực phán đoán, thứ viết ra lại khiến thế hệ mô hình tiếp theo càng không học được.
Đơn thuốc mà Gowers kê, rơi vào hàm thưởng của mô hình.
Khi huấn luyện không thể chỉ thưởng khi đưa ra lời giải, còn phải phạt nó ở hai việc: đào quá nhiều vào ngõ cụt, và trực tiếp lật đáp án có sẵn trong tài liệu.
Chỉ thưởng kết quả, sẽ chỉ nhận được kết quả không có quá trình.
Câu nói này đúng với huấn luyện, cũng đúng với giới toán học.
Như thế nào mới tính là vượt qua?
Gowers đưa ra một cây thước khó qua mặt nhất.
Ông nêu lên vấn đề cap-set năm 2016.
Vấn đề này hỏi: Trong một lưới cao chiều tam phân, có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu điểm, sao cho ba điểm bất kỳ không tạo thành cấp số cộng. Trong mấy chục năm, giới hạn chỉ bị đẩy xuống từng chút một.
Năm đó, một giải pháp mới ra đời, giới hạn tốt nhất trước đó bị vứt bỏ một phát, dùng con đường không giống bất kỳ con đường nào ông từng nghĩ đến.
Nhưng nhìn lại sau sự việc, cách làm đó rõ ràng phải như vậy, trước đó lại không ai nghĩ đến.
Tiếp theo một lượng lớn người đổ xô vào, muốn tìm hiểu công nghệ mới này còn có thể làm gì.
Một phương pháp thực sự tốt, không chỉ giải quyết bài toán hiện tại, nó sẽ khiến một nhóm người lập tức thay đổi công việc trên tay.
Ngày nào mô hình tự mình đưa ra thứ có trọng lượng tương đương, ông mới cho rằng ngưỡng cửa này đã vượt qua.
Bài viết này đến từ tài khoản WeChat công chúng "Tân Trí Nguyên" (新智元), tác giả: ASI Khải Thị Lục (ASI启示录)






