Một bài toán thế kỷ treo lơ lửng suốt 78 năm, chỉ ba ngày đã bị phá giải!
Câu hỏi là liệu trên mặt cầu sáu chiều có cấu trúc phức hay không, được đặt ra từ năm 1948 cho đến hôm nay, và bây giờ câu trả lời là có.
Người đưa ra lời giải này là nhà toán học Harvard Levent Alpöge và Claude.
Điều đáng kinh ngạc hơn là cách thức phá giải.
Họ đã đi vòng qua con đường cũ mà mọi người đã đi mấy chục năm, trực tiếp xây dựng nên đối tượng này, rồi chỉ vào nó và tuyên bố, đây chính là cấu trúc phức trên S6.
Và khi Alpöge thông báo trên X, câu đầu tiên anh ấy viết, càng giống như đang tuyên bố sự ra đời của một sinh mệnh mới——
Chào mừng đối tượng hình học xinh đẹp mới này đến với thế giới.
Hơn bảy mươi năm, chỉ treo trên một mặt cầu này
Trong tất cả các mặt cầu, chỉ có hai vị có đủ tư cách nói đến cấu trúc phức, S2 và S6, các chiều khác đã sớm bị loại khỏi cuộc chơi.
S2 không có gì bàn cãi, bản thân nó chính là viên gạch nền tảng nhất trong nền móng hình học phức.
Vì vậy, trong hơn bảy mươi năm, ánh mắt của mọi người đều dán chặt vào cái duy nhất này: S6.
Có người nhảy ra nói nó tồn tại, có người thề rằng nó tuyệt đối không tồn tại, nhưng cả hai phe đều vấp ngã.
Ví dụ, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất đương đại, người đoạt giải Fields Michael Francis Atiyah, vào năm 2016 đã tuyên bố đã giải quyết được nó, nhưng bị chỉ ra rằng lập luận có lỗ hổng.
Đại sư toán học người Hoa Trần Tỉnh Thân những năm cuối đời cũng từng nghiên cứu vấn đề này.
Lần này, thứ mà Alpöge tung ra là một tài liệu lập luận dày 108 trang.
Mọi ma trận, mọi tọa độ, mọi cách dán nối được sử dụng trong cấu trúc, anh ấy đều ghi rõ ràng ra giấy trắng mực đen.
Nhà toán học Qiaochu Yuan đặc biệt dùng GPT-5.6 Sol để soi lỗi, kết quả sau khi xem chăm chú 6 phút phát hiện, không có bất kỳ kẽ hở nào.
Không cam tâm lại xem xét thêm 15 phút, vẫn không tìm ra bất cứ sai sót nào, ngược lại còn hiểu sâu hơn logic lập luận này.
Kết luận mà Sol đưa ra là, nếu 108 trang này cuối cùng đứng vững, nó có thể nói là thành tựu AI toán học quan trọng nhất cho đến nay.
Nếu công trình này được hoàn thành thuần túy bởi con người, rất có thể sẽ đoạt giải Fields, dù không phải vì nó khó hay nổi tiếng, ít nhất cũng vì ảnh hưởng của nó.
Ba số nguyên, tuyên án số phận bài toán này
Vậy thì câu hỏi đặt ra, đối tượng mới này rốt cuộc được xây dựng thế nào?
Bước đầu tiên, xây nền móng trước.
Lấy một thứ gọi là nhóm tam giác (3,4,∞) để gấp nửa mặt phẳng trên, hình dạng còn lại sau khi gấp, trực quan mà nói chính là một mặt cầu.
Chỉ có điều trên mặt cầu này có đánh dấu ba điểm đặc biệt, một điểm cấp 3, một điểm cấp 4, và một điểm nhọn, vị trí lần lượt ở t = 0, t = 1 và t = ∞.
Alpöge không che giấu sự yêu thích của mình, thẳng thắn nói rằng nhóm tam giác và họ mặt xuyến treo trên nó là nét bút mà anh ấy ưng ý nhất.
Bước thứ hai, treo mặt xuyến lên nền móng.
Ngoài ba điểm đặc biệt đó, mỗi điểm trên nền móng đều được treo lên một mặt xuyến phức 2-chiều, một cấu trúc hai chiều trong số phức và bốn chiều trong số thực.
Thứ treo trên đỉnh một điểm nào đó, trong toán học gọi là thớ của điểm đó, toàn bộ X được xếp ra từng sợi một như vậy.
Sau bước này, đỉnh của ba điểm đặc biệt vẫn trống rỗng, tương đương với việc mặt cầu bị đục ra ba lỗ hổng.
Bước thứ ba, lấp đầy ba lỗ hổng.
Cái gọi là lấp lỗ, chính là gắn cho ba điểm trống này mỗi điểm một thớ để lắp vào, khâu lại thành một đa tạp compact hoàn chỉnh.
Chỗ khéo léo nhất nằm ở chỗ, ba lỗ hổng không dùng cùng một phương pháp, mỗi lỗ đều vừa vặn rơi vào phạm vi áp dụng của một phương pháp lấp cổ điển.
Điểm nhọn t = ∞ dùng sự thoái hóa mặt xuyến của Mumford, thớ được nhét vào gọi là W, thu được bằng cách dán từng cặp ba cặp cạnh đối diện của biên lục giác của một mặt del Pezzo bậc sáu.
Hai điểm còn lại t = 0 và t = 1 dùng phép biến đổi logarithm của Kodaira, bội số lần lượt là 3 và 4, khớp chính xác với cấp 3 và cấp 4 của hai điểm trên nền móng.
Khoảnh khắc ba lỗ hổng được lấp đầy, một đa tạp phức compact ba chiều tên là X, từ đó xuất hiện.
Đã xây dựng được nó, nhưng rốt cuộc nó có phải là S6 không?
Lúc này X đã là một đa tạp phức hoàn toàn hợp lệ, nhưng câu hỏi tra hỏi này vẫn chưa được trả lời.
Phần 7 của bài báo đã tính toán nhóm cơ bản của X, kết quả là π1(X) ≅ Z / |12l0 − 4l1 − 3l2|.
Nhóm cơ bản có thể hiểu đại khái là, trong không gian này có lỗ hổng không thể tránh được hay không. Bất kỳ vòng tròn nào vẽ trên mặt cầu đều có thể co về một điểm, vì vậy nhóm cơ bản của mặt cầu là tầm thường.
Ba số nguyên (l0, l1, l2) trong công thức ghi lại mức độ xoắn của thớ khi khâu vá ba lỗ hổng.
Thay (0, 1, −1) vào, tính ra 12×0 − 4×1 − 3×(−1) = −1, giá trị tuyệt đối được đóng chặt ở 1.
Và Z mô-đun 1 chính là nhóm tầm thường, nhóm cơ bản đến đây hoàn toàn biến mất, X và mặt cầu khớp nhau điều kiện đầu tiên.
Do bản thân X đơn liên thông, đồng điều nguyên khớp hoàn toàn với S6, dùng hai định lý lớn Hurewicz và Whitehead đè lên, nó chắc chắn là một mặt cầu sáu chiều đồng luân, rồi áp dụng giả thuyết Poincaré tổng quát mà Smale đưa ra năm 1961, nó đồng phôi với S6.
Cuối cùng, chỉ còn lại một cửa ải cuối cùng: cấu trúc trơn.
Bởi vì trong giới tôpô, đồng phôi không bằng vi phôi đồng phôi. Hai thứ nhìn có thể giống hệt nhau, nhưng cách làm vi tích phân trên chúng lại không khớp, loại hàng giả này có một cái tên chuyên biệt, gọi là mặt cầu kỳ dị.
May mắn thay, từ năm 1963, Kervaire và Milnor đã tính rõ món nợ này, trong thế giới sáu chiều sạch sẽ tinh tươm, vừa đúng không có một mặt cầu kỳ dị nào, đổi sang bảy chiều, thứ này có thể nhảy ra một phát 28 cái.
Vì vậy đồng phôi ở đây được nâng cấp một bước thành vi phôi đồng phôi, thân phận thật của X chính là S6.
Người kết thúc nó, chuyên ngành chính không phải hình học phức
Danh hiệu của Alpöge là Nghiên cứu viên cơ sở của Hội Nghiên cứu viên Harvard, đồng thời kiêm nghiên cứu sinh sau tiến sĩ tại Anthropic, chuyên ngành chính là lý thuyết số và hình học số học, vùng nước hình học phức này anh ấy không thường xuyên lui tới.
Và Yuan tiết lộ rằng, chỉ ba ngày trước khi giải được bài toán này, chính mình mới vừa thảo luận với anh ấy về bế tắc này.
Từ tìm lời giải, đến tạo ra lời giải
Ba ngày hạ gục một bài toán bị kẹt hơn bảy mươi năm, bản thân việc này đã đủ kỳ lạ rồi.
Nhưng nó thực ra chỉ là lần thứ ba trong vòng 35 ngày.
Ngày 20 tháng 7, Alpöge dùng Claude Fable 5 đập ra phản ví dụ chí mạng của giả thuyết Jacobi, bài toán được đưa ra năm 1939, treo lơ lửng suốt 87 năm không ai giải được.
Chỉ ba tuần sau, ngày 10 tháng 8, một phiên bản Claude nghiên cứu chưa phát hành, cho đến nay vẫn chưa công khai danh tính, đã nâng tỷ lệ đã được chứng minh cho các không điểm của hàm zeta Riemann rơi trên đường tới hạn từ 41.6% lên 67.2%.
Trong trận chiến tiêu hao sức mạnh tính toán đó, nó một hơi điều động khoảng 60 tác nhân thông minh con, gõ xuống hơn 2400 lệnh shell, đốt hết 31 triệu token đầu ra.
Tiếp theo là ngày 24 tháng 8, chính là S6 lần này.
Hai lần trước, bạn vẫn có thể giải thích miễn cưỡng rằng, AI chỉ là một công cụ tìm kiếm có sức mạnh tính toán cực mạnh, một cái mò mẫm tìm phản ví dụ trong không gian nghiệm đã biết, một cái ghép ép hai bài báo hiện có sẵn đã nằm trong thư viện.
Chỉ riêng lần này, tính chất hoàn toàn thay đổi.
Đối tượng hình học này vốn dĩ không tồn tại, là mô hình cố gắng sinh ra nó.
Phó giáo sư Toán và Thống kê Justin Curry của Đại học Bang New York tại Albany thẳng thắn nói: Nếu chứng minh là đúng, đây chắc chắn là thành tựu AI tuyệt vời gần đây nhất.
Trong 78 năm qua, tất cả mọi người đều hỏi cùng một câu, trên S6 rốt cuộc có cấu trúc phức hay không.
Và từ thời khắc này, có lẽ nên hỏi một câu khác rồi.
Ở đó rốt cuộc còn ẩn giấu bao nhiêu cái?
Tài liệu tham khảo: https://alpo.ge/s6.pdf
Bài viết này đến từ tài khoản công chúng WeChat "Tân Trí Nguyên", tác giả: ASI Khải Thị Lục; Biên tập: Môi-se David
