书接上回，关于《用多因子模型构建强大的加密资产投资组合》系列文章中，我们已经发布了三篇：《理论基础篇》、《数据预处理篇》、《因子有效性检验篇》。
前三篇分别解释了多因子策略的理论与单因子测试的步骤。
一、因子相关性检验的原因：多重共线性
我们通过单因子测试部分筛选出一批有效因子，但以上因子不能直接入库。因子本身可以根据具体的经济含义进行大类划分，同类型的因子间存在较强的相关性，若不经相关性筛选直接入库，根据不同因子进行多元线性回归求预期收益率时，会出现多重共线性问题。计量经济学中，多重共线性是指回归模型中的一些或全部解释变量存在“完全”或准确的线性关系（各变量间高度相关）。
因此，有效因子筛选出后，首先需要根据大类对因子的相关性进行 T 检验，对于相关性较高的因子，要么舍弃显著性较低的因子，要么进行因子合成。
多重共线性的数学解释如下：
会存在两种情况：
多重共线性导致的后果：
1.完全共线性下参数估计量不存在
2.近似共线性下 OLS 估计量非有效
3.参数估计量经济含义不合理
4.变量的显著性检验（t 检验）失去意义
5.模型的预测功能失效：通过多元线性模型拟合出的预测收益率极其不准确，模型失效。
二、步骤一：同类型因子的相关性检验
检验新求出的因子与已入库因子的相关性。通常来说，有两类数据求相关性：
1.根据所有 token 在回测期间的因子值求相关
2.根据所有 token 在回测期间的因子超额收益值求相关
我们所求的每个因子对 token 的收益率都有一定的贡献和解释能力。进行相关性检验**，是为了找到对策略收益有不同解释和贡献的因子，策略的最终目的是收益**。如果两个因子对收益的刻画是相同的，即使两个因子值存在很大差别也无意义。因此，我们并不是想找到因子值本身差异大的因子，而是想找到因子对收益刻画不同的因子，所以最终选择了用因子超额收益值求相关。
我们的策略是日频，所以按回测区间的日期计算因子超额收益之间的相关系数矩阵
编程求解与库内相关最高的前 n 个因子：
def get_n_max_corr(self, factors, n= 1):
factors_excess = self.get_excess_returns(factors)
save_factor_excess = self.get_excess_return(self.factor_value, self.start_date, self.end_date)
if len(factors_excess) < 1:
return factor_excess, 1.0, None
factors_excess[self.factor_name] = factor_excess['excess_return']
factors_excess = pd.concat(factors_excess, axis= 1)
factors_excess.columns = factors_excess.columns.levels[ 0 ]
# get corr matrix
factor_corr = factors_excess.corr()
factor_corr_df = factor_corr.abs().loc[self.factor_name]
max_corr_score = factor_corr_df.sort_values(ascending=False).iloc[ 1:].head(n)
return save_factor_excess, factor_corr_df, max_corr_score
三、步骤二：因子取舍、因子合成
对于相关性较高的因子集合，可以采取两种方式处理：
（1）因子取舍
根据因子本身的 ICIR 值、收益率、换手率、Sharpe 比率，挑选某维度下最有效的因子进行保留，删除其他因子。
（2）因子合成
对因子集合中的因子进行合成，截面上尽可能多的保留有效信息
假设当前有 3 个待处理的因子矩阵：
2.1 等权加权
各因子权重相等（w= 1/因子个数），综合因子=各因子值加总求平均。
Eg.动量类因子，一个月收益率、两个月收益率、三个月收益率、六个月收益率、十二个月收益率，这六个因子的因子载荷各占 1/6 的权重，合成新的动量因子载荷，然后再重新进行标准化处理。
synthesis 1 = synthesis.mean(axis= 1) # 按行求均值
2.2 历史 IC 加权、历史 ICIR、历史收益加权
用回测期的 IC 值（ICIR 值、历史收益值）对因子进行加权。过去有很多期，每一期都有一个 IC 值，所以用它们的均值作为因子的权重。通常使用回测期 IC 的均值（算数平均值）作为权重。
2.3 历史 IC 半衰加权、历史 ICIR 半衰加权
2.1 与 2.2 都是计算算数平均值，回测期的每一次 IC、ICIR 对于因子的作用被默认为相同。
但现实中，回测期的每一期对于当期的影响程度不完全相同，存在时间上的衰减。越接近当前期的时期，影响越大，越远影响越小。在此原理，求 IC 权重前首先定义一个半衰权重，距离当期越近的权重值越大、越远权重越小。
半衰权重数学推导：
2.4 最大化 ICIR 加权
通过求解方程，计算最优因子权重 w 使得 ICIR 最大化
协方差矩阵的估计问题：协方差矩阵用于衡量不同资产之间的关联性。统计学中常以样本协方差矩阵代替总体协方差矩阵，但在样本量不足时，样本协方差矩阵与总体协方差矩阵的差异会很大。所以有人提出了压缩估计的方法，原理是使估计协方差矩阵与实际协方差矩阵之间的均方误差最小
方式：
1.样本协方差矩阵
2.Ledoit-Wolf 收缩：引入一个缩小系数，将原始的协方差矩阵与单位矩阵进行混合，以减少噪音的影响。
3.Oracle 近似收缩：对 Ledoit-Wolf 收缩的改进，目标是通过对协方差矩阵进行调整，从而在样本大小较小的情况下更准确地估计真实的协方差矩阵。（编程实现与 Ledoit-Wolf 收缩同理）
2.5 主成分分析 PCA
主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种用于降维和提取数据主要特征的统计方法。其目标是通过线性变换，将原始数据映射到一个新的坐标系，使得数据在新坐标系下的方差最大化。
具体而言，PCA 首先找到数据中的主成分，也就是数据中方差最大的方向。然后，它找到与第一个主成分正交（无关）且具有最大方差的第二个主成分。这个过程一直重复，直到找到数据中所有的主成分。
