Dix résultats de niveau « médaille Fields », le processus de démonstration de l'IA est entièrement rendu public !
Aujourd'hui, OpenAI a publié un lourd « manuscrit essentiel » de 62 pages, détaillant le raisonnement complet du GPT.
L'officialisation est enfin tombée : l'auteur de cette percée étonnante est bien le « modèle principal de nouvelle génération ».
Si l'on calcule selon le tarif de l'API GPT-5.6 Sol, le coût total de tous les Tokens brûlés n'est que de 2000 dollars.
La publication du manuscrit de démonstration par l'IA a une nouvelle fois enflammé l'ensemble du réseau.
Tout le monde spécule aveuglément : « C'est absolument le fameux GPT-6 ! » Certains s'émerveillent encore : 2000 dollars ont débloqué dix réalisations historiques.
GPT perce dix problèmes séculaires, pour seulement 2000 dollars
Il y a deux jours, un employé interne d'OpenAI a publié un billet de blog, affirmant directement que le modèle de nouvelle génération Astra avait résolu dix problèmes mathématiques majeurs.
Une liste illustrée a stupéfié tout le monde.
Cela couvre l'empilement de sphères en haute dimension, les codes binaires et sphériques, la théorie des groupes, la conjecture de rigidité de Connes, les bornes inférieures pour les circuits arithmétiques, la répétition parallèle quantique, le problème du vecteur le plus proche, la conjecture du volume d'Ehrhart, les nombres de Ramsey multicolores, la théorie des graphes extrémaux.
À l'époque, le blog officiel avait publié une collection de 249 pages d'articles et un ensemble complet de certificats de formalisation Lean 4.
Mais ce n'est qu'aujourd'hui qu'un manuscrit de 62 pages a été officiellement rendu public, intitulé « How the Ideas Came Together » — Comment les idées se sont rassemblées.
Lien de téléchargement : https://cdn.openai.com/pdf/reasoning-walkthroughs.pdf
Son « résumé » n'est qu'un court paragraphe, mais il est incroyablement riche en informations —
Cette note a été rédigée de manière autonome par le modèle d'IA, l'équipe d'OpenAI n'est absolument pas intervenue.
L'IA a lu les raisonnements pas à pas (CoT) originaux, ainsi que les articles mathématiques finaux, puis a reconstruit quatre éléments pour chaque problème :
Quelles idées ont initialement indiqué une voie praticable ;
Quelles méthodes semblant prometteuses ont buté sur de véritables obstacles ;
Quel changement de perspective a révélé la structure sous-jacente ;
Comment l'aperçu décisif a finalement constitué l'argumentation complète.
Problème très discuté en ligne : l'empilement de sphères en haute dimension, personne n'y a touché depuis 46 ans
Parmi les dix problèmes, celui qui a suscité le plus d'attention en ligne est l'empilement de sphères en haute dimension.
Écartons le nom ésotérique, le problème lui-même est en fait très simple : dans une boîte, combien de balles de même taille peut-on empiler au maximum ?
La réponse pour l'espace à trois dimensions est connue depuis longtemps, c'est la méthode d'empilement des « oranges » sur un étal de fruits.
Mais dans des dimensions de plusieurs centaines ou milliers, les humains ne peuvent donner qu'une « borne supérieure » — un maximum qu'il est impossible de dépasser.
L'exposant de cette borne supérieure était bloqué à 0.5991, sans avancée significative depuis 1978, soit 46 ans.
Et Astra l'a directement repoussé à 0.6044005442916776954..., la borne supérieure de densité s'écrit 2^-(0.6044...+o(1))d.
La clé est : comment l'a-t-elle fait ?
Premièrement, Astra a déterminé, au cours de son raisonnement, les limites inhérentes à la méthode de programmation linéaire de Cohn–Elkies.
L'idée initiale de l'IA était d'utiliser l'inégalité de Cauchy–Schwarz pour estimer la masse négative d'une fonction. Après de longs efforts, elle n'a pu atteindre qu'un rayon de √d/(2√π).
Après ce blocage, elle a porté un jugement : l'obstacle n'est pas une constante mal optimisée, mais le fait que la norme globale ne peut tout simplement pas retenir où se situe la masse négative.
Ainsi, Astra a décidé de changer de perspective : utiliser la transformée de Mellin, combinée à la mesure harmonique.
Mais pourquoi celle-ci ?
Parce que pour une fonction radiale, la transformée de Fourier est essentiellement une transformée de Hankel, dont le noyau ne dépend que du produit du rayon spatial et du rayon fréquentiel.
Du côté de Mellin, cela devient une opération extrêmement simple : réflexion, plus une phase explicite.
Il y a ici un détail subtil : ce facteur de phase a un module constant égal à 1 sur l'axe réel, on ne peut rien en déduire sur l'axe réel.
Mais lorsqu'on l'étend analytiquement en dehors du plan complexe, il transporte précisément cette partie de l'information dimensionnelle supérieure que l'inégalité de norme avait perdue.
À la limite, la mesure harmonique converge vers une densité logistique, et son potentiel logarithmique est exactement égal à la fonction digamma, dont l'intégrale donne précisément log(π/2).
C'est de là que provient le seuil de 1/π.
Un détail illustre particulièrement qu'elle savait ce qu'elle faisait :
La masse totale de la mesure harmonique est (1−σ)/2, et non 1. Le manuscrit spécifie une phrase : Remplacer ce noyau trop tôt par une densité de probabilité modifierait la constante exponentielle.
Une fois la borne inférieure obtenue, il faut encore construire une fonction qui l'atteigne réellement.
La Gaussienne donne la bonne symétrie de Fourier, mais la position du point-selle est incorrecte.
La méthode consiste à la multiplier par une déformation paire, pour déplacer le point-selle sans détruire la symétrie. Après avoir exploité au maximum l'amortissement disponible, on obtient un « profil idéal ».
L'intégrale du déplacement de son point-selle, calculée à l'aide du produit de Wallis, est exactement égale à −(1/2)log(π/2).
Ce nombre déplace précisément le rayon 1/√(2π) de la Gaussienne vers 1/π.
Le rayon prédit par la borne inférieure et le rayon construit par la borne supérieure coïncident ici.
Dans le manuscrit, il y a un autre détail très concret :
Lors de la construction de la fonction auxiliaire, une zone positive d'amortissement doit être ajoutée au loin.
Et ce correctif doit être ajouté sur un intervalle entier, pas en un point unique, car l'ajout en un point unique heurterait une fréquence de résonance.
Groupes non sofic, la difficulté réside dans le « multiple » et l'« unique »
Le second problème brûlant est la construction, attendue depuis 27 ans, d'un « groupe non sofic ».
Le mathématicien Thomas Bloom de l'Université de Manchester affirme sans ambages : « Parmi les résultats de construction, celui-ci est plus significatif que le contre-exemple précédent à la conjecture des distances unitaires. »
Le concept de « groupe sofic » a été proposé en 1999 par le mathématicien russe Mikhail Gromov, lauréat du prix Abel.
En hébreu, sofic signifie « fini ».
En langage simple, pour savoir si un groupe est sofic, on se pose la question suivante :
Cette structure infinie et abstraite peut-elle être approximativement simulée par un ensemble d'« opérations de brassage finies suffisamment grandes » ?
Astra a donné une construction explicite, répondant : il existe un groupe « non sofic » infini et de présentation finie.
La partie la plus précieuse du manuscrit est qu'il a clairement identifié l'obstacle réel —
Le théorème de Kun donne de nombreux graphes d'expansion, alors que le théorème de Kun–Thom n'en requiert qu'un seul.
Le fossé entre le « multiple » et l'« unique » est le point de difficulté central de tout ce chapitre.
L'IA qualifie cela de « décalage crucial » (the crucial mismatch).
Elle donne un exemple particulièrement clair pour expliquer pourquoi on ne peut pas en choisir un au hasard :
Sur la réunion de deux copies identiques de Q (Q⊔Q), l'opération « échanger les deux copies » commute exactement avec l'action K de l'expansion — mais elle ne préserve aucune des composantes.
C'est-à-dire que ces « éléments approximativement centraux » peuvent sauter entre les composantes, on ne peut pas les saisir.
Avant cela, il y avait une autre impasse plus ancienne : vouloir transformer directement la propriété (T) en propriété de mélange. Cela nécessite un ensemble moyen paresseux ou anti-biparti, car un graphe biparti peut avoir un spectre proche de −1, même s'il présente un écart de Kazhdan en 1.
La correction par moyenne a effectivement résolu ce problème spectral, mais n'a pas résolu le problème « de savoir quelle composante choisir ».
Pour cela, Astra a d'abord essayé une version : prendre le logarithme de la taille des composantes, les regrouper dans des cellules sur une grille translatée aléatoirement, puis passer à une comparaison par médiane bornée.
Mais cette voie a échoué. Par expérience, l'IA en a conclu :
Ce qu'il faut moyenner, c'est toujours une fonction monotone bornée de la taille des composantes, jamais la taille elle-même qui est non bornée.
Par conséquent, la version finale a été réécrite selon ce « principe essentiel ».
Dans chaque composante d'expansion environnementale A, prendre une médiane pondérée des sommets m_A, puis définir
f(x) = M(x) / (M(x) + m_A)
où M est la taille de la composante. Cette f est toujours comprise entre 0 et 1, et 1/2 est exactement la médiane sur chaque A.
L'avantage de cette f est qu'elle transforme une quantité incontrôlable en une quantité contrôlée.
La clé est que les générateurs sont des permutations — ils déplacent uniquement des positions, sans ajouter ni retirer ; après un cycle complet, la variation totale doit être nulle ; et comme chaque étape ne peut diminuer que d'une infime quantité, les deux côtés se trouvent comprimés jusqu'à devenir négligeables.
Ensuite, en coupant selon la hauteur, en utilisant la propriété d'expansion pour le côté petit, et en pinçant les deux extrémités : f est presque partout égal à 1/2.
Cela signifie que la taille de tous les blocs dans la même plage est presque identique, ce qui permet de les faire correspondre un par un.
Pour finaliser, il restait une petite région.
Le traitement d'Astra est très contre-intuitif : sélectionner la région défectueuse la plus grande possible et la jeter entièrement — précisément parce qu'on sélectionne la plus grande, cela prouve en retour qu'elle est suffisamment petite pour être négligée.
Le problème de Gromov a trouvé une réponse après 27 ans.
Pour les processus de démonstration par l'IA des huit autres problèmes, les personnes intéressées peuvent consulter : https://cdn.openai.com/pdf/reasoning-walkthroughs.pdf
La « Singularité » approche, compte à rebours
Dès la publication du manuscrit, Mo Bavarian, expert en apprentissage par renforcement d'OpenAI, a publié un long post.
La première phrase : c'est vraiment un moment « surréel ».
En 2021, lui et l'équipe d'OpenAI ont publié un ensemble de données GSM8K — 8500 problèmes de mots mathématiques de niveau élémentaire, si simples qu'ils ne nécessitent que 2 à 8 étapes pour être résolus.
À l'époque des GPT-2/3, l'IA avait effectivement du mal à résoudre des problèmes de mathématiques élémentaires, pouvant tout juste servir à rédiger des ébauches de courriels.
Cependant, en quelques années à peine, l'apprentissage par renforcement à grande échelle a progressé à toute vitesse, et ces « impasses technologiques » autrefois jugées infranchissables ont été brisées une par une.
Cet intervalle de temps est incroyablement court.
Mo Bavarian déclare : « Pour moi, ce moment ressemble plus que jamais à la veille de la Singularité. »
Il y a quelques années, l'IA trébuchait encore sur des problèmes de mots de niveau élémentaire.
Aujourd'hui, pour 2000 dollars de Tokens, on peut obtenir dix réponses susceptibles d'entrer dans l'histoire des mathématiques.
La « veille de la Singularité » n'est peut-être pas si lointaine.
Référence : https://cdn.openai.com/pdf/reasoning-walkthroughs.pdf
Cet article provient du compte WeChat officiel « 新智元 » (New Zhi Yuan), auteur : ASI Apocalypse ; éditeur : Taozi
