Ngày hôm đó, toàn bộ giới toán học chấn động.
Một bài toán siêu khó khiến vô số nhà toán học đỉnh cao phải gục ngã, khiến thiên tài toán học người Hoa Trương Ích Đường khổ sở suốt bảy năm, buộc phải rửa bát ở Subway - Giả thuyết Jacobi, đã bị Fable 5 chứng minh là sai!
Chiều hôm qua, nhà nghiên cứu Levent Alpoge của Anthropic đã đăng tweet:
Chào mọi người, Giả thuyết Jacobi là sai, cảm ơn bạn thân của tôi akhil đã hỏi câu hỏi này, và cảm ơn một người bạn khác của tôi là Fable vẫn đã làm việc trong thời gian diễn ra trận chung kết World Cup.
Phía dưới phần chú thích là một công thức toán học ngắn gọn.
Một vấn đề toán học cốt lõi có lịch sử 87 năm, đã được Fable 5 giải quyết một cách dễ dàng vào một buổi chiều Chủ nhật.
Giả thuyết Jacobi cực kỳ khó. Có lẽ loài người còn cần một trăm năm nữa mới giải quyết được nó. Nỗ lực của bạn đáng được trân trọng, biết đâu một ngày nào đó các vị thần trên đỉnh Olympus sẽ đoái thương đến bạn.
Việc chứng minh Giả thuyết Jacobi sai có lẽ chỉ là quân cờ domino đầu tiên đổ xuống, nhiều giả thuyết khác có thể sẽ bị chứng minh là sai.
Như nhà toán học Jared Duker Lichtman đã thốt lên: "Đây là một trong những câu chuyện truyền cảm hứng nhất của toán học hiện đại."
Có người nói, tôi hiếm khi thấy cộng đồng X trong giới khoa học rơi vào trạng thái phấn khích điên cuồng và kinh ngạc tột độ như bây giờ.
Và đằng sau đó, là bảy năm bị đánh cắp của Trương Ích Đường.
Giả thuyết Jacobi là gì? Một cái bẫy "đương nhiên"
Hãy lùi thời gian về năm 1939. Năm đó, nhà toán học Đức Ott-Heinrich Keller đã đặt ra một câu hỏi:
Nếu định thức Jacobian của một ánh xạ đa thức là một hằng số khác không, thì liệu ánh xạ đó có nhất thiết phải tồn tại ánh xạ ngược đa thức không?
Thực ra, trực giác đằng sau vấn đề này khá đơn giản - trong giải tích, định lý hàm ngược cho chúng ta biết rằng nếu định thức Jacobian của hàm số tại một điểm nào đó khác không, thì trong lân cận điểm đó, hàm số tồn tại hàm ngược cục bộ.
Giả thuyết Jacobi hỏi rằng: nếu điều kiện này đúng ở mọi nơi, và hàm số là ánh xạ đa thức, thì liệu ánh xạ ngược có nhất thiết cũng phải là đa thức không?
Đây là một vấn đề điển hình từ "cục bộ đến toàn cục", trông có vẻ đương nhiên là đúng, nhưng lại khiến những bộ óc thông minh nhất thế giới bối rối suốt 87 năm.
Phiên bản hai chiều đã được đưa ra từ năm 1884, cùng với một chứng minh sau này được phát hiện có lỗ hổng.
Một đòn tình cờ, AI đưa ra phản ví dụ thần thánh
Vấn đề này trông có vẻ đơn giản, nhưng thực chất là một hố đen toán học đích thực. Vô số nhà toán học đã công bố một lượng lớn bài báo tuyên bố chứng minh được giả thuyết này, nhưng không ngoại lệ, tất cả đều bị phát hiện có thiếu sót logic.
Cho đến cuối tuần này, Claude Fable 5 xuất hiện.
Nó không đi theo lối suy nghĩ của con người để chứng minh, mà trực tiếp trong không gian ba chiều
ném ra một phản ví dụ:
Ánh xạ đa thức trông khá phức tạp này, từ C3 ánh xạ đến C3, có định thức Jacobian của nó luôn bằng -2 - một hằng số khác không, thỏa mãn điều kiện tiên đề của giả thuyết.
Tóm lại, phản ví dụ này được tinh giản và thanh lịch đến mức đáng sợ. Bất kỳ sinh viên năm nhất đại học nào đã học qua giải tích vi phân đại học đều có thể tính bằng tay, tính đạo hàm riêng để thấy định thức Jacobian của đa thức ba biến này luôn bằng -2.
Thỏa mãn điều kiện tiên đề của giả thuyết, vậy nó có khả nghịch không?
Fable 5 đã chỉ ra một cách đơn giản và rõ ràng tính không đơn ánh của nó - hàm số này ánh xạ ba điểm hoàn toàn khác biệt trong không gian: (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) và (-1, 3/2, 13/2) đều trỏ đến cùng một điểm ảnh: (-1/4, 0, 0).
Vì ba điểm khác nhau đều cho cùng một kết quả, nó đương nhiên không thể có hàm ngược.
Cứ như vậy, Giả thuyết Jacobi dạng tổng quát, đã bị bác bỏ hoàn toàn.
Một giả thuyết 87 năm, đã bị AI "tình cờ" phá giải như vậy.
Trên mạng xã hội, các giáo sư và nghiên cứu sinh toán học kinh ngạc tranh nhau kiểm chứng phản ví dụ này.
Có người dùng Wolfram Alpha để nhanh chóng kiểm tra, phát hiện kết quả hoàn toàn chính xác.
Nhưng điểm đặc biệt của phản ví dụ này nằm ở chỗ, nó tự chứng minh: nó đơn giản đến mức có thể tính tay kiểm chứng, sự thanh lịch và chính xác khiến người ta phải thán phục.
Phó giáo sư Khoa học Máy tính/Thống kê UC Berkeley, cựu nhà khoa học nghiên cứu Google DeepMind Jason Lee thốt lên: "Toán học xong rồi." (Math is solved.)
Không lâu sau, GPT-5.6 nhanh chóng phân tích kết quả này và đề xuất một bộ giả thuyết mới được sửa đổi hoàn toàn: "Một ánh xạ song chỉnh hình địa phương đa thức Jacobian hằng, nếu không mất lá tại vô cùng, thì nó là một tự đẳng cấu."
Aaron Lou của OpenAI đã dùng Codex nội bộ (không tìm kiếm web) để suy diễn từ đầu ra một phản ví dụ bản chất tương tự, viết đầy đủ chiến lược và chứng minh, còn đưa ra suy luận toán học có thể tái lập (từ phân tích nhân tử bậc ba đến phép biến đổi tọa độ affine).
Nó không chỉ tìm ra cơ chế cấu trúc đằng sau phản ví dụ, mà còn hướng dẫn con người cách định nghĩa lại vấn đề này.
Điều này chứng minh, AI đã có khả năng sáng tạo toán học thực sự, chứ không phải bắt chước bề ngoài.
Nhà toán học Lichtman kinh ngạc thốt lên, hy vọng được thấy các nhà đại số học đỉnh cao phản ứng thế nào với giả thuyết mới do GPT đề xuất.
Quá trình suy diễn đầy đủ như sau:
https://aaronlou.com/jacobian_counterexample_derivation.pdf
Nhà khoa học dữ liệu Cal Aldred thậm chí còn dùng Fable + GPT 5.6 Sol đề xuất một phương pháp sinh ra vô hạn phản ví dụ!
Bảy năm bị đánh cắp của Trương Ích Đường
Nhưng phần khiến người ta thở dài nhất của câu chuyện này, liên quan đến Trương Ích Đường.
Tất cả mọi người đều nhớ câu chuyện về thiên tài toán học phải đi làm thuê ở Subway.
Trương Ích Đường, nổi danh toàn cầu nhờ đóng góp đột phá vào Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi, nhưng trong vài thập kỷ trước đó, trải nghiệm của ông có thể coi là bi kịch của giới học thuật.
Đầu những năm 1990, Trương Ích Đường theo học tiến sĩ tại Đại học Purdue, người hướng dẫn là Mạch Tông Kiên. Mạch Tông Kiên tin tưởng vào tính đúng đắn của Giả thuyết Jacobi và giao cho Trương Ích Đường lấy đó làm đề tài luận án tiến sĩ.
Mạch Tông Kiên đã đưa cho Trương Ích Đường một "bổ đề" - một mệnh đề toán học được cho là đúng, làm cơ sở nghiên cứu. Trương Ích Đường đã nghiên cứu sâu theo hướng này, thậm chí trong luận án tiến sĩ đã từng tuyên bố giải quyết được dạng yếu của giả thuyết đó.
Tuy nhiên, số phận đã trêu đùa một cách tàn nhẫn.
Sau khi được đồng nghiệp rà soát, bổ đề then chốt được sử dụng trong chứng minh của Trương Ích Đường đã được chứng minh là sai. Và bổ đề này, lại chính xuất phát từ thành quả học thuật do người hướng dẫn Mạch Tông Kiên công bố trước đó.
Tòa lâu đài lý thuyết mà ông dành nhiều năm xây dựng, bỗng nhiên phát hiện nền móng là công trình chất lượng kém. Mọi nỗ lực, mọi suy luận, đều sụp đổ ầm ầm.
Mạch Tông Kiên đánh giá Trương Ích Đường "không phù hợp với hình học đại số", cho rằng quãng đời tiến sĩ của ông "đã lãng phí bảy năm tuổi trẻ của chính mình, cũng lãng phí thời gian của tôi". Chí mạng hơn, Mạch Tông Kiên đã không viết thư giới thiệu cho Trương Ích Đường.
Điều này khiến một tiến sĩ tốt nghiệp Đại học Purdue không thể tiến thân trong giới học thuật.
Trương Ích Đường buộc phải rời khỏi giới học thuật, bắt đầu cuộc sống lang thang kéo dài. Ông đã làm đủ loại công việc lặt vặt, được biết đến rộng rãi nhất là làm việc bảy năm tại cửa hàng thức ăn nhanh Subway.
Mãi đến năm 2013, ở tuổi 58, Trương Ích Đường công bố bài báo đột phá về Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi, chỉ một đêm từ giảng viên đại học vô danh trở thành nhà toán học được cả thế giới chú ý.
Nhưng bảy năm thời gian bị lãng phí đó, đã mãi mãi không thể lấy lại được.
Sau này, ông đã trích dẫn câu thơ của Đỗ Phủ để diễn tả cảm nhận của mình trong khoảng thời gian đó: "Vũ Tín bình sinh tiêu sắc nhất, mộ niên thi phú động giang quan."
Trớ trêu hơn, năm 2018, khi Trương Ích Đường nổi tiếng nhờ Giả thuyết số nguyên tố sinh đôi, Mạch Tông Kiên đã bổ sung một phiên bản "hồi ký", tiếp tục tăng cường chỉ trích Trương, nhưng vẫn giảm nhẹ trách nhiệm của bản thân.
Ông ta vẫn tin vào tính đúng đắn của Giả thuyết Jacobi, thậm chí nghĩ rằng AI sẽ sớm giúp giải quyết các vấn đề logic trong quá trình chứng minh.
Cuối cùng, đến hôm nay, AI đã dễ dàng đưa ra một phản ví dụ đơn giản.
Thật đáng thở dài.
Tất nhiên, phải chỉ ra rằng, lần này AI bác bỏ là Giả thuyết Jacobi ba chiều, tức là phủ định phiên bản tổng quát "đúng ở mọi số chiều".
Trương Ích Đường khi đó nghiên cứu trường hợp hai chiều, và hai chiều không phải là phiên bản bậc thấp đơn giản của ba chiều - ngược lại, hai chiều là phần cốt lõi hơn, và hiện nay cũng khó công phá hơn trong vấn đề này, ý nghĩa toán học lớn hơn, cho đến nay vẫn chưa được giải quyết.
Nhưng điều này hoàn toàn không làm giảm sức ảnh hưởng của sự kiện này.
Người đoạt giải Fields Timothy Gowers bi quan và kinh ngạc cảm thán: "Giải thưởng Toán học Fields năm 2030, có thể là lần cuối cùng trao cho con người."
Tài liệu tham khảo:
https://x.com/search?q=Jared%20Duker%20Lichtman&src=typed_query
Bài viết này đến từ tài khoản công chúng WeChat "Tân Trí Nguyên", tác giả: ASI Khải Thị Lục, biên tập: Đại Vệ Aeneas
