В этот день весь математический мир был потрясен.
Сверхсложная математическая проблема, перед которой пали множество ведущих математиков и над которой китайский гений Чжан Итан бился семь лет, вынужденный мыть посуду в Subway, — гипотеза Якоби — была опровергнута Fable 5!
Вчера вечером исследователь из Anthropic, Левант Алпог, опубликовал твит:
Всем привет, гипотеза Якоби неверна, спасибо моему другу ахил, который задал этот вопрос, и моему другому другу Fable, который работал даже во время финала чемпионата мира.
Под текстом — краткая математическая формула.
Ключевая математическая проблема с 87-летней историей была так легко решена Fable 5 в воскресный вечер.
Проблема гипотезы Якоби невероятно сложна. Возможно, человечеству потребовалось бы еще сто лет, чтобы решить ее. Ваша попытка заслуживает уважения, возможно, однажды боги Олимпа будут благосклонны к вам.
Опровержение гипотезы Якоби может стать лишь первой падающей костью домино, несколько гипотез могут быть опровергнуты.
Как воскликнул математик Джаред Дукер Лихтман: «Это одна из самых вдохновляющих историй в современной математике».
Кто-то сказал, что я редко видел научный X в таком безумном возбуждении и огромном потрясении, как сейчас.
А за этим — семь лет, украденных у Чжан Итана.
Что такое гипотеза Якоби? Ловушка «само собой разумеющегося»
Давайте вернемся в 1939 год. В том году немецкий математик Отт-Хайнрих Келлер задал вопрос:
Если якобиан полиномиального отображения является ненулевой константой, обязательно ли существует полиномиальное обратное отображение?
На самом деле, интуиция, стоящая за этой проблемой, проста — в математическом анализе теорема об обратной функции говорит нам, что если якобиан функции в некоторой точке не равен нулю, то в окрестности этой точки существует локальная обратная функция.
Гипотеза Якоби спрашивает: если это условие выполняется всюду, и функция является полиномиальным отображением, должна ли обратная функция также быть полиномиальной?
Это типичная проблема «от локального к глобальному», которая кажется очевидно верной, но сбивала с толку самые блестящие умы целых 87 лет.
Двумерная версия была предложена еще в 1884 году, тогда же было представлено доказательство, в котором позже обнаружились изъяны.
Легким движением, ИИ дает божественный контрпример
Проблема кажется простой, но это настоящая математическая черная дыра. Множество математиков опубликовали множество статей, утверждающих доказательство этой гипотезы, но все они без исключения оказались логически ошибочными.
До этих выходных, когда на сцену вышел Claude Fable 5.
Он не пошел по человеческой логике доказательства, а прямо в трехмерном пространстве
выдал контрпример:
Это довольно сложное на вид полиномиальное отображение из C3 в C3, его якобиан тождественно равен -2 — ненулевой константе, удовлетворяющей условиям гипотезы.
В общем, этот контрпример пугающе лаконичен и элегантен. Любой первокурсник, изучавший математический анализ, может взять частные производные и вычислить, что якобиан этого трехчленного полинома тождественно равен -2.
Условие гипотезы выполнено, обратима ли она?
Fable 5 просто и ясно указал на её неинъективность — эта функция отображает три совершенно разные точки в пространстве: (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) и (-1, 3/2, 13/2) в одну и ту же точку образа: (-1/4, 0, 0).
Поскольку три разные точки ведут к одному результату, у неё не может быть обратной функции.
Так, гипотеза Якоби в обобщенном смысле была полностью опровергнута.
87-летняя гипотеза была «легко» взломана ИИ.
В социальных сетях потрясенные профессора математики и аспиранты спешили проверить этот контрпример.
Кто-то быстро проверил с помощью Wolfram Alpha и обнаружил, что результат абсолютно верен.
Но особенность этого контрпримера как раз в том, что он самодоказуем: он достаточно прост для проверки вручную, его элегантность и точность поражают.
Джейсон Ли, доцент компьютерных наук/статистики Калифорнийского университета в Беркли, бывший научный сотрудник Google DeepMind, воскликнул: «Математика решена.» (Math is solved.)
Вскоре GPT-5.6 быстро проанализировал этот результат и предложил новую, исправленную гипотезу: «Локальное биголоморфное отображение с постоянным якобианом, не теряющее листов на бесконечности, является автоморфизмом.»
Аарон Лу из OpenAI с помощью внутреннего Codex (без поиска в интернете) с нуля вывел по сути тот же контрпример, полностью прописал стратегию и доказательство, а также дал воспроизводимый математический вывод (от факторизации кубического многочлена до аффинного преобразования координат).
Он не только нашел структурный механизм, лежащий в основе контрпримера, но и указал людям, как переопределить эту проблему.
Это доказывает, что ИИ обладает подлинным математическим творчеством, а не поверхностным подражанием.
Математик Лихтман воскликнул, что надеется увидеть реакцию ведущих алгебраистов на новую гипотезу, предложенную GPT.
Полный процесс вывода:
https://aaronlou.com/jacobian_counterexample_derivation.pdf
Специалист по данным Кэл Олдред даже с помощью Fable + GPT 5.6 Sol предложил метод генерации бесконечного множества контрпримеров!
Семь лет, украденных у Чжан Итана
Но самая душераздирающая часть этой истории связана с Чжан Итаном.
Все помнят историю этого математического гения, работавшего в Subway.
Чжан Итан прославился на весь мир своим прорывным вкладом в гипотезу о простых числах-близнецах, но десятилетия до этого его история была настоящей академической трагедией.
В начале 1990-х Чжан Итан работал над докторской диссертацией в Университете Пердью, его научным руководителем был Мо Цзунцзянь. Мо Цзунцзянь был убежден в истинности гипотезы Якоби и поручил Чжан Итану взять ее в качестве темы докторской диссертации.
Мо Цзунцзянь дал Чжан Итану «лемму» — математическое утверждение, считавшееся верным, в качестве основы для исследования. Чжан Итан углубился в работу по этому направлению и даже в своей диссертации заявил, что решил слабую форму этой гипотезы.
Однако судьба сыграла жестокую шутку.
После проверки коллегами было доказано, что ключевая лемма, использованная в доказательстве Чжан Итана, неверна. И эта лемма как раз происходила из ранее опубликованных научных работ самого научного руководителя Мо Цзунцзяня.
Теоретическое здание, которое он строил годами, внезапно оказалось построенным на шатком фундаменте. Весь труд, все выводы рухнули.
Мо Цзунцзянь отозвался о Чжан Итане как о «не подходящем для алгебраической геометрии», считая, что его докторантура «потратила впустую семь лет его жизни и мое время». Более того, Мо Цзунцзянь не написал для Чжан Итана рекомендательного письма.
Это сделало выпускника докторантуры Университета Пердью беспомощным в академических кругах.
Чжан Итану пришлось покинуть академические круги и начать долгие годы скитаний. Он перепробовал множество случайных работ, наиболее известная из которых — семь лет работы в ресторане быстрого питания Subway.
Только в 2013 году, в возрасте 58 лет, Чжан Итан опубликовал прорывную статью о гипотезе простых чисел-близнецов и в одночасье превратился из незаметного университетского преподавателя в математика мирового уровня.
Но те семь лет, потраченные впустую, уже никогда не вернуть.
Позже он процитировал стихи Ду Фу, описывая свои чувства в тот период: «Юй Синь за всю жизнь был печальней всех, а в старости его стихи потрясли реки и горы».
Еще более иронично, что в 2018 году, когда Чжан Итан прославился благодаря гипотезе о простых числах-близнецах, Мо Цзунцзянь специально выпустил дополненную версию «мемуаров», еще больше усиливая обвинения в адрес Чжана и по-прежнему приглушая свою ответственность.
Он по-прежнему верил в истинность гипотезы Якоби и даже считал, что ИИ вскоре поможет решить логические проблемы в процессе доказательства.
Наконец, сегодня ИИ легко представил простой контрпример.
Это так печально.
Конечно, необходимо отметить, что на этот раз ИИ опроверг трехмерную гипотезу Якоби, то есть опроверг обобщенную версию, утверждающую, что «она верна для всех размерностей».
Чжан Итан тогда изучал двумерный случай, и двумерный случай не является простой низкоразмерной версией трехмерного — как раз наоборот, двумерный случай является более ключевым и, как сейчас кажется, более трудным для решения аспектом этой проблемы, имеющим большее математическое значение и до сих пор не решенным.
Но это ничуть не умаляет ударной силы этого события.
Лауреат Филдсовской премии Тимоти Гауэрс с пессимизмом и потрясением заметил: «Филдсовская премия 2030 года может быть последней, присужденной человеку».
Источники:
https://x.com/search?q=Jared%20Duker%20Lichtman&src=typed_query
Эта статья взята с официального аккаунта WeChat «Новая Эра Искусственного Интеллекта», автор: Апокалипсис ASI, редактор: Дэвид Aeneas
